Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
В разд. 10.1 мы рассмотрим лоренцев аналог теоремы Бонне — Майерса и в ходе этого рассмотрения изучим времениподобный диаметр пространства-времени. Времениподобный диаметр di am (M, g) пространства-времени (М, g) задается формулой
diam (М, g) = sup jd (р, q): р, q ? М\.
Классы пространств с конечным времениподобным диаметром, включая «вселенные Уилера», уже изучались в общей теории относительности (см. Типлер (1977в, с. 500)).
Если полное риманово многообразие имеет конечный диаметр, то по теореме Хопфа — Ринова оно компактно. И как следствие метрической полноты все геодезические имеют бесконечную длину. Но для пространства-времени (М, g), поскольку L (у) с С d (р, q) для всех направленных в будущее непространственноподобных кривых у, идущих из р в q, каждая времениподобная геодезическая должна удовлетворять неравенству L (у) < < diam (M, g). Поэтому, если пространство-время имеет конечный времениподобный диаметр, то все времениподобные геодезические имеют конечную длину и, значит, неполны. В частности,294
Гл. 10. Некоторые результаты
пространство-время (M, g) с конечным времениподобным диаметром является времениподобно геодезически неполным.
Ввиду того что мы используем для лоренцевой метрики соглашение (—, +) (а не (-(-, —, ..., —)), условия положительности (соответственно отрицательности) секционной кривизны для римановых многообразий переходят в условия отрицательности (соответственно положительности) времениподобной секционной кривизны для лоренцевых многообразий.
Используя теорию о времениподобном индексе, развитую в разд. 9.1, получим следующий лоренцев аналог теоремы Бонне — Майерса для полных римановых многообразий. Пусть (M, g) — глобально гиперболическое пространство-время, в котором либо (а) все непространственноподобные кривизны Риччи положительны и отделены от нуля, либо (б) все времениподобные секционные кривизны отрицательны и отделены от нуля. Тогда (М, g) имеет конечный времениподобный диаметр.
В разд. 10.2 мы приведем лоренцевы переложения двух хорошо известных теорем сравнения из римановой геометрии — теоремы сравнения индексов и теоремы сравнения Рауха. Используя последний из этих результатов, мы сможем дать простое доказательство (следствие 10.12) основного факта о том, что в пространстве-времени с всюду неотрицательными времениподобными секционными кривизнами дифференциал expPs экспоненциального отображения
ехрр„: Tv(TpM)-^T ехр (у) M
не уменьшает нормы непространственноподобных касательных векторов.
Наконец, в разд. 10.3 мы приведем аналог теоремы Адамара — Картана для односвязного в будущем пространства-времени. Пространство (М, g) называется здесь односвязным в будущем, если для любых р, q ? М, связанных отношением р q, любые две направленные в будущее гладкие времениподобные кривые, идущие из р в q, гомотопны в классе гладких направленных в будущее времениподобных кривых с концами Bpnq. Используя теорию Морса для пространства С(Р,д) времениподобных путей из разд. 9.2, можно показать, что если (М, g) — односвязное в будущем глобально гиперболическое пространство-время с непро-странственноподобно сопряженными точками, то для любых заданных р, q ? М, связанных отношением р <С q, существует ровно один (с точностью до параметризации) направленный в будущее времениподобный геодезический сегмент, идущий из р в q.
10.1. Времениподобный диаметр
Понятие диаметра полного риманова многообразия побуждает к рассмотрению для произвольного пространства-времени следующего его аналога (см. Бим и Эрлих (1979в, разд. 9)>.10.1. Времениподобный диаметр
295
Определение 10.1. Времениподобный диаметр diam (Af1 g) пространства-времени (Af, g) определятся так:
diam (Af, g) = sup \d (р, q): р, q ? М\.
Близкое понятие использовалось Типлером (1977а, с. 17) при изучении теории сингулярностей в общей теории относительности. Физически времениподобный диаметр представляет собой точную верхнюю грань возможных собственных времен, в течение которых произвольная частица могла бы существовать в данном пространстве-времени. Пространство-время конечного времениподобного диаметра является поразительно сингулярным (вспомните определение 5.3).
Замечание 10.2. Если diam (М, g) < оо, то все времениподобные геодезические имеют длину, не большую diam (Af, g), и потому неполны.
Доказательство. Пусть с: (a, b) M — времениподобная геодезическая, длина которой L (с) > diam (М, g). Тогда можно найти s, t ? (a, b), s < t, такие, что L (с | [s, 11) >diam ( Af, g). Но тогда
d (с (s), с (t)) Ss L (с I [s, t ]) > diam (Af, g),
что невозможно.
С физической точки зрения наиболее интересными пространствами конечного времениподобного диаметра являются вселенные Уилера (см. Типлер (1977в, с. 500)). В частности, примерами вселенных Уилера являются «замкнутые» космологические модели Фридмана.
Для полного риманова многообразия (N, g0) диаметр конечен, если многообразие компактно. В этом случае всегда можно указать пару точек из N, расстояние между которыми совпадает с диаметром. Напротив, для пространства-времени с конечным времениподобным диаметром таких точек нет — диаметр никогда не достигается.