Теория вероятностей и математическая статистика - Баврин И.И.
ISBN 5-06-005322-9
Скачать (прямая ссылка):
iI
Mb- - ..
X -X.= -T(у -У.)-
52
Пример. Найдем выборочное уравнение прямой регрессии Y на X по данным л= 10 наблюдений. Результаты наблюдений и результаты вычислений собраны в таблице (С= 70 и С' = 9,0 — ложные нули).
X, У* х,-С X1-C' Xl-Xt У, -у. (*/ - X,) X X (у, - у.)
71 8,6 I -0,4 -4,5 20,25 -0,48 2,16
72 8,9 2 -0,1 -3,5 12,25 -0,18 0,63
73 8,9 3 -0,1 -2,5 6,25 -0,18 0,45
74 9,0 4 0,0 -1,5 2,25 0,08 -0,12
75 9,1 5 0,1 -0,5 0,25 0,02 -0,01
76 9,2 6 0,2 0,5 0,25 0,12 0,06
77 9,2 7 0,2 1,5 2,25 0,12 0,18
78 9,2 8 0,2 2,5 6,25 0,12 0,30
79 9,3 9 0,3 3,5 12,25 0,22 0,77
80 9,4 10 0,4 4,5 20,25 0,32 1,44
Сумма 55 0,8 82,5 5,86
Xb= 75,5 Jb= 9,08 jf = 9,17 HB = 0,65
Вычисляем:
P(YfX) = ^- = = 0,071.
Уравнение искомой прямой имеет вид
у - 9,08 = 0,071(х - 75,5),
или
^ = 0,071л: + 3,72. Упражнения
1. Постройте полигон следующего распределения:
х, 1 3 5 7 9
п, 10 15 30 33 12
127 2. Постройте полигон распределения по размеру проданной мужской обуви по данным следующей таблицы:
Размер обуви (варианта) 36 37 38 39 40 41 42 43
Число проданных пар (частота) 1 1 5 8 17 21 18 8
3. Постройте гистограмму следующего распределения:
Частичный интервал длиной А Сумма частот вариант частичного интервала п,
2-5 9
5-8 10
8-11 25
11-14 6
4. Постройте гистограмму распределения коров по проценту жирности молока по данным следующей таблицы:
Жирность молока, % Число коров
3,45-3,55 1
3,55-3,65 1
3,65-3,75 3
3,75-3,85 4
3,85-3,95 7
3,95-4,05 5
4,05-4,15 2
4,15-4,25 1
4,25-4,35 1
5. Генеральная совокупность задана таблицей распределения:
Xi 1000 1200 1400
N1 1000 6000 3000
Найдите генеральную среднюю Xr и генеральную дисперсию Dr.
[хг = 1240; Dr= 14 400]
6. Найдите выборочную среднюю по данным следующей таблицы:
Длина хоботка у шести пчел
(в мм)
6,54 6,69
6,71 6,70
6,70 6,62
[6,66 мм]
128 7. Выборочная совокупность задана таблицей распределения:
xi 4 7 10 15
пi 10 15 20 5
Найдите выборочные среднюю хв и дисперсию Av
[хв = 8,4; А = 9,84] 8. Выборочная совокупность задана таблицей распределения:
xi 1 2 5 8 9
и, 3 4 6 4 3
Найдите выборочную и исправленную дисперсии.
[А = 8,4; S2 = 8,84]
9. Выборочным путем были получены следующие данные об урожайности ржи в районе:
Урожайность, ц/га Число гектаров
18 10
20 20
21 20
Определить выборочную среднюю хв и исправленное среднее квадратическое отклонение 5. [хв = 20 ц; S= 1,1 ц]
10. По выборке объема л=51 найдена выборочная дисперсия А =5. Найдите исправленную дисперсию. [s2 = 5,l]
11. В итоге четырех измерений некоторой физической величины одним прибором (без систематических ошибок) получены следующие результаты: 8; 9; 11; 12. Найдите: а) выборочную среднюю результатов измерений; б) выборочную и исправленную дисперсии ошибок прибора.
[а) хв=10; б) А = 2,5; S2=1V3]
12. Найдите выборочную среднюю по данному распределению выборки объема л = 100:
х, 340 360 375 380
пI 20 50 18 12
[361,1]
13. Найдите выборочную дисперсию по данному распределению выборки объема л = 10:
х, 0,1 0,4 0,6
пI 3 2 5
9-4857
[0,0469] 129 14—16. Заданы среднее квадратическое отклонение, выборочная средняя и объем выборки нормально распределенного признака генеральной совокупности. Найдите границы доверительных интервалов для оценки генеральной средней Зсг с заданной надежностью.
14. а= 3; хв = 4,1; « = 36; у=0,95. [3,12 <хг < 5,08]
15. а = 2; Зсв = 5,4; «=10; у= 0,95. [4,16с хг < 6,64]
16. а= 3; хв = 20,12; « = 25; у=0,99. [18,57 < Xr < 21,67]
17—19. Заданы «исправленное» среднее квадратическое отклонение, выборочная средняя и объем выборки нормально распределенного признака генеральной совокупности. Найдите, пользуясь распределением Стьюдента, доверительные интервалы для оценки генеральной средней хг с заданной надежностью.
17. 5 = 0,8; хв = 20,2; «=16; у=0,95. [19,774 < хг < 20,626]
18. S= 1,5; хв= 16,8; «=12; у=0,95. [15,85 < Xr < 17,75]
19. 5=2,4; хв= 14,2; « = 9; у=0,99. [11,512 < Xr < 16,888]
20. Признак X генеральной совокупности распределен нормально. По выборке объема и = 25 найдено «исправленное» среднее квадратическое отклонение 5=0,8. Найдите доверительный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратическое отклонение с с надежностью 0,95.
[0,544<о< 1,056]
21. По данным девяти независимых равноточных измерений физической величины найдены среднее арифметическое результатов отдельных измерений хв = 42,319 и «исправленное» среднее квадратическое отклонение S= 5. Требуется оценить истинное значение а измеряемой величины с надежностью 0,95. [38,469 < а< 46,169]
22. По 15 равноточным измерениям найдено «исправленное» среднее квадратическое отклонение 5 = 0,12. Найдите точность измерений с с надежностью 0,99. [0,03 <а< 0,21]
23. По данным 16 независимых равноточных измерений физической величины найдены среднее арифметическое результатов отдельных измерений хв = 23,161 и «исправленное» среднее квадратическое отклонение 5=0,4. Требуется оценить истинное значение а измеряемой величины и точность измерений а с надежностью 0,95.
