Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
Замечание. Действие оператора монодромии в слоях расслоения grfW (f*) совпадает с действием его полупростой части, ^см. пп. 3, 4 леммы 9.
Следствие леммы 11. Проекция в gr^ (f*) расслоения Jrft П W1 (f*) определяет подрасслоение
Fk grz W (/*): FkgTlW^S',
•егослои—факторпространства FkgrtWt=(Ft(\Wt t+W^1 t)/W где t?S'.
Подрасслоение Fk grt W (T)CZgTlW (f) инвариантно относительно действия полупростой части оператора монодромии (леммы 7, 9) §13] коэффициенты разложений в РЯД интегралов 284
и инвариантно относительно связности Гаусса—Манина (п. 3 леммы 3).
. Рассмотрим оператор N —логарифм унипотентной части оператора монодромии. Оператор N определяет морфизм расслоений N: gr2 W —W (т. е. линейное по слоям отображение, перестановочное с проекцией на базу и сохраняющее класс голоморфных сечений).
Лемма 12. Для любых k, I gZ
N{F*fftW)c:F*~4rt_tW.
Доказательство. Достаточно доказать, что, если голоморфная дифференциальная я-форма со обладает свойствами:
а) имеет порядок, не больший чем п—k — 1;
б) ее главная часть является сечением подрасслоения W1 (/*), то проекция сечения Nsmax [со] в фактор-расслоение gr(/*) является сечением подрасслоения Fb-Igrl^W (f*).
Отметим, что согласно лемме 1
AfwM = -2*ifeM2e««>+ • • • +(Inf)"-'Д?-і.в««/(п—2)1). (6)
Таким образом, достаточно предъявить две формы и их линейную комбинацию, у которой главная часть обладает свойствами:
в) она является сечением подрасслоения W1^2 (/*);
- г) ее проекция в grf_2 W (/*) пропорциональна проекции сечения Nsmax [со];
д) ее проекция в gr(/*) является сечением подрасслоения F*~*gr ^2Wtf*).
Первая форма—/со,
Vax \М = Іа <<а,+ 1 « «о>+ • • • + On О"-1 А*.и а (а» /(Л —1)0.
Вторая форма—это произвольная форма ty = df Ац, где dt]=®. Согласно формуле (3) на стр. 209
t
«шах M = S Vax M <") dU = ta (6>)+1(^a(.,/(« И + 1) ~
+ *)2+•••), (7)
где пропущены слагаемые, в которые входят либо а ш с ?^2, либо (In/)ft с Линейной комбинацией со свойствами в)—д)
является форма /со—(a(co) + l)iJ>. Действительно,
Vax И -f-1) = І*(<a,+1 (AZ « (.>/(« (ffl) +1) + . • о. (8)
где пропущены слагаемые того же сорта. Согласно лемме 1 справедливы свойства в), г). Поскольку порядок линейной комбинации равен а(со) + 1, справедливо свойство д). Лемма доказана.
Замечание. Как показывают формулы (6), (8), операция перехода от Sraax [со] к Smax [/со—(а (со) + 1) г|з] очень похожа на применение к Smax [со] логарифма унипотентной части оператора 268 ИНТЕГРАЛЫ ГОЛОМОРФНЫХ ФОРМ. ПО ИСЧЕЗАЮЩИМ. ЦИКЛАМ [ГЛ. IIl
монодромии. Кроме того, формы /со, /со—(а (со) +1)-ф порождают один и тот же элемент в Qn (X)/df /\Qn~l (X), где Qf (X)—голоморфные р-формы на X. Таким образом, формулы (6), (8) показывают аналогию действия в когомологиях логарифма уни-потентной части монодромии и действия в Qn (X)ZdfAQn'1 (X) оператора умножения на /. Подробнее см. в п. 14.3.Д, [21].
Сформулируем теперь теорему о смешанной структуре Ходжа. Обсуждению утверждения теоремы, а также ее следствий, посвящен § 14. Подробное определение смешанной структуры Ходжа см. в п. 14.1.
Теорема 3 (О смешанной структуре Ходжа; см. [19, 20, 22].) Весовая и ходжева фильтрации образуют смешанную структуру Ходжа в слоях когомологического расслоения Милнора критической точки, т. е. для любых k, I t ^S'
SclWt = F* grtWt 0F'-*-» grtW t, (9)
где ф—прямая сумма, черта означает сопряжение.
Замечание. Смешанная структура Ходжа в исчезающих когомологиях определена Стинбринком в [221]. Весовая фильтрация, определенная в п. В, совпадает с весовой фильтрацией Стинбринка. Ходжева фильтрация, определенная в п. А, вообще говоря, отличается от ходжевой фильтрации Стинбринка. Ходжева фильтрация п. А и ходжева фильтрация Стинбринка совпадают на фактор-расслоениях весовой фильтрации. Ходжева фильтрация п. А и ходжева фильтрация Стинбринка просто выражаются друг через друга: ходжево подрасслоение Fk (/*) п. А порождается главными частями форм, порядков, принадлежащих полуинтервалу (п—k—2, я—k—1]; если Smax [со]—одна такая главная часть, то (yd/dt)n~k~1 smax[со]—сечение ходжева подрасслоения ^(/^ Стинбринка. Определение ходжевой фильтрации Стинбринка использует разрешение особенностей критической точки ростка f и не использует асимптотик интегралов голоморфных форм; подробнее см. в [221, 20, 22, 23].
Доказательство теоремы см. в [20, 22] (схема доказательства изложена в [20], недостающие детали и отдельное доказательство для случая Ai=2 см. в [22]). Доказательство выводится из глубокой и нетривиальной теории деформаций структур Ходжа когомологий компактных неособых кэлеровых многообразий. Эта теория развита Гриффитсом, Шмидом, Делинем (см. [156, 158, 213, 145]). В когомологиях компактного неособого кэлеровогО многообразия имеется естественная фильтрация — структура Ходжа (см. [93, 112]). Каждому многообразию ставится в соответствие точка в классифицирующем пространстве всех структур Ходжа.Если многообразие голоморфно зависит от параметров, то имеется голоморфное отображение пространства параметров в классифицирующее пространство структур Ходжа (см. [156, 158, 213]). Это отображение §13] КОЭФФИЦИЕНТЫ РАЗЛОЖЕНИЙ В РЯД ИНТЕГРАЛОВ
