Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
dn и сп и 1
СП и _ sn и СП U
1
sn И dn w SQ U СП и
Вообще, если р, q, г являются любыми тремя из четырех букв S, с, d, п, то
16.3.4. pq и = -
при условии, что в случае совпадения двух букв, например рр и, соответствующая функция полагается равной единице. 16.6. ФУНКЦИИ ЯКОБИ ПРИ Я1-0 ш т-1
383
16.4. ВЫЧИСЛЕНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ЯКОБИ С ПОМОЩЬЮ АРИФМЕТИКО-ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО СРЕДНЕГО (А.Г.С.)
Алгоритм А.Г.С. см. в 17.6.
Для вычисления sn(w|;}j), er;(и! т) и dn(u | mj процесс А.Г.С. формируется по начальным значениям
16.4.1. <
' 1, ba — A/W»
Со
= -Jm
и оканчивается на шаге N, когда величиной едг можно пренебречь в пределах заданной точности. Находим фу в градусах по формуле
16.4.2. <pN = —
и затем последовательно вычисляем ф^-і, фя-а, Cp0, используя рекуррентное соотношение
Фі,
16.4.3. sin(2<pn_i — ф») = — sin фя.
an
Тогда
16.4.4. sn (ы І т) = sin ср0, cn (u | m) = cos q
dn (и і т) =
cos Фо cos (<pi - фо)
По этим функциям могут быть определены остальные эллиптические функции Якоби.
16.5. ЧАСТНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
sd u cs u dn u
X6.S.1. 0 0 1 1
16.5.2. -U 2 1 mV w11'4
(1 + mi'»)1" (1 + hi1'2)1'3
16.5.3. К 1 0 mi'2
16.5.4. і (ИГ) im-1" (1 + m1")1« m1" (1 + mv*)lf%
16.5.5. - (К +Ж') 2 2-i«„ri/i[(| + + + 1(1 - bi1'5)"2] J' V +mi'a)1/a - /(1 - ml'*?'*]
16.5.6. К + - (,X) 2 иГ1" Г 1 - m1'2 )1'2 I Ш1'2 J (1 _ mvs)va
16.5.7. і-К' oo oo oo
16.5.8. — К + ЇК' 2 (1 - BlJT1'1 .( тЦ* Wa I 1 - m1^ J -Im1Ii
16.5.9. К + ІК' m-v2 -Km1Jmfii 0
16.6. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЯКОБИ ПРИ /и — 0 и m = 1
m - O m = 1 m - 0 т =• 1
16.6.1. sn (и I m) sin U th U 16.6.8. nc (н і m) sec и ch и
16.6.2. cn (u I m) COS U sech H 16.6.9. sc (и 1 m) tg и sb и
16.6.3. dn (ы I m) I sech u 16.6.10. ш (и I т) COSCC и cth и
16.6.4. cd (a [ m) COS U 1 16.6.11. ds (и і т) cosec и cosech и
16.6.5. sd (u I m) sin U sh и 16.6.12. es (и I т) Ctg и cosech и
16.6.6. nd (и I m) 1 ch u 16.6.13. am (мі m) и gd и
16.6.7. dc («1 m) sec U 1 384
16. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЯК.ОБИ И ТЭТА-ФУНКЦИИ
16.7. ГЛАВНЫЕ ЧЛЕНЫ РАЗЛОЖЕНИЙ
Если эллиптическая функция pq и разложена по возрастающим степеням (и — Kr), где Kr — одна из величин О, К, іК',К+іК', то пзрвый член разложения, называемый главным, имеет одну из форм А, Ву,(и — Kr), C-- (и — К,) в соответствий с тем, является ли Kr обыкновенной точкой,
нулем или полюсом функции pq и. В следующей таблице приведены эти формы. Знаки х и — показывают, что необходимо лоппсать множитель или делитель (и ~КГ) соответственно.
Kr- о к IK' К + ІК' о к !К' К + ІК'
16.7.1. Sn и 1 X 1 т-1" 16.7.7. de и 1 т"» -т"!х
16.7.2. СП U 1 -mi" X -im-"* + 16.7.8. пс и 1 -mr1"^ im1" X і^Т
16.7.3. dn и 1 mI -/-=- і ту X 16.7.9. SC и Ix і ітт1'"
16.7.4. cd и 1 -Ix mJ" 16.7.10. ns M 1 ш1/ах и?"
16.7.5. sd и 1 X гаГ"2 Im-1/3 1 (mm,)1« ' 16.7.11. ds и 1-1- м}'» -im1" ((Mm1)ljsX
16.7.6. nd и 1 тТ1" IX 16.7.12. CS W 1 + -т}'2х — і -іт\<'-
16.8. ФОРМУЛЫ ПРИВЕДЕНИЯ ПО АРГУМЕНТУ
» -„ и + к и —к к—U и±2К IK -и и + іК' и + 2IK' и + К + ІК' «+2 Л' + + 2 iK'
16.8.1. sn U — sn и cd и —cd и cd и —sn и sn и т~1/г ns и sn и т-1'2 de и —sn U
16.8.2. СП U СП и — т\гг sd и ml'"2 sd и т\'г sd и — СП H — СП и — іт~х!г ds и — СП и —im\'iJTi-2'* пс и cn и
16.8.3. dn и dn и m\rl nd и т?* nd и ml'2 nd и dn и dn и — І CS и —dn и im{ri sc и —dn и
16.8.4. cd и cd и —sn и sn и sn и —cd н — cd и т~ш de и cd и —т~1,й ns и —cd и
16.8.5. sd и —sd и mj1''1 cn и —сп и т^1'" сп и —sd и sd и іпг1/г ПС и —sd и —imx1'2 Jtrj/sds и sd и
16.8.6. nd и nd и mjv' dn w mj"1/2 dn и dn н nd и nd и і SC и —nd и —Intxlli cs и —nd w
16.8.7. de и de и —ns и ns и ns и —de и —de и т1/а cd и de и —т1/3 sn и — de и
16.8.8. nc И пс и —тї1/2 ds и «її1'2 ds и тХ1 п ^3 и —пс и —пс и irr?1* sd и —пс и imXi!imr? сп и nc U
16.8.9. sc и —sc и —ntxlfS es и — тї1/а es и mxv* es и sc и —sc и і nd и -SC и imx112 dn и —sc M
16.8.10. ns и —ns и de а —de и de и —ns и ns и mlf2 sn и ns и mlli cd и —ns U
15.8.11. ds и — ds и т\'ъ пс н —т];'2 пс и m\ri пс и —ds и ds и —im1'* сп и —ds ы in^l3mlri sd и ds и
16.8.12. CS и -CS и —ml'2 sc м — т\'2 sc и m\t2 sc и CS и —es и —і dn и -CS и —im\n nd и —cs и
16.9. СВЯЗИ МЕЖДУ КВАДРАТАМИ ФУНКЦИЙ
16.9.1. —dn2 и + mi — —т en2 и = т sn2 и — т.
16.9.2. —mi nd8 и + ті — — пипі sda и = т cd® и —т.
16.9.3. W1 sc2 и + mi = Wi1 пс" и = de2 и — т.
16.9.4. es2 и + «її =» dsa и = ns2 и — т.
Напомним, что в приведенных формулах т +W1 = 1. Если pq и, rt и — любые две из двенадцати эллиптических функций, то одна из записей выражает tq'- и через pqaw,
а другая выражает qt" и через rt" и. Так как tq и • qt- и — 1 то из эглх раззіигв мэжчо гіолу-шіь билинейное соотно шение между pq8 и и rt2«. Так, для функций cd к, sn и имеем
., _ _ 1 — т cd2 и , п , а
16.9.5. nd" и —--. dn2 и = 1 — т sn8 и
тг
и, следовательно,
16.9.6. (] - т cd2 и) (I - т Sn2 и) = т,. IS. 14. ПОВЫШАЮЩЕЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАНДЕНА
385
16.10. ФОРМУЛЫ ПРИВЕДЕНИЯ ПО ПАРАМЕТРУ
