Основы физики твердого тела. - Зиненко В.И.
Скачать (прямая ссылка):
cos (ар) = cos (kp), (9.36)
и из (9.27) следует закон дисперсии свободных электронов
h2k2
е = w <9'37"
В случае электрона, локализованного на атоме, положим U -> оо, q ф 0.
Тогда из (9.35) следует
sin (ар) = 0, (9.38)
ар = ( - 1)пж(п + 1), (9.39)
т.е., как и в изолированном атоме, получаем дискретные уровни энергии.
9.3. Электроны в слабом периодическом потенциале
Теперь рассмотрим движение электрона в периодическом потенциале решетки,
не задавая явный вид потенциала, а используя только свойства его
периодичности в кристалле. Так как решение уравнения Шредингера в нулевом
потенциале представляет собой
228
Гл. 9. Энергетические зоны в твердом теле
плоские волны, то и в случае слабого кристаллического потенциала можно
искать решение волновой функции электрона в кристалле в виде разложения
по плоским волнам. Для простоты вычислений рассмотрим случай одномерного
кристалла. Потенциал решетки инвариантен по отношению к трансляциям:
и(х) = U(x + а). (9.40)
Как любую периодическую функцию, его можно разложить в ряд Фурье по
векторам обратной решетки:
27]-
U (ж) = Ць ехр (ibx), Ъ=-п, п = ±1,±2,... (9.41)
ь а
Фурье-компоненты Щ в реальных кристаллах уменьшаются с увеличением Ь,
например, для кулоновского потенциала Щ ~ 1/Ь2. Поскольку и(х)
вещественно, то выполняется: II/ = С/_г>, и мы можем представить (9.41) в
виде
U(x) = 2 ^2 Ub cos (bx). (9.42)
6>0
Используя результат (9.41), запишем уравнение Шредингера:
( h2 d2 \
-------глт + и(х) ф(х) =
V 2m0dx2 v V
= ^ 2ш~+ ^ Ub 0ХР (ibx^j ^(х) = ?к{х)- (9-43)
Решение будем искать в виде разложения ф(х) в ряд по плоским волнам:
ф(х) = С(k) ехр (ikx), (9.44)
к
где, согласно (5.31), к = 2тгп/Ь, п - целые числа. Если в разложении
(9.44) есть какой-либо вектор к0, то все векторы вида к0 + Ь тоже
содержатся в этом разложении. Это - следствие теоремы Блоха.
Доказательство этого утверждения будет приведено ниже. Подставим (9.44) в
уравнение (9.43):
Ь2
S ехр (%кх) + Y.Y, IJbC(k) ехр (i(k + Ь)х) =
к 0 ь к
= С (к) ехр (ikx). (9.45)
к
9.3. Электроны в слабом периодическом потенциале
229
Умножим обе части уравнении на ехр ( - ik'x) и проинтегрируем по х.
Используй свойство ортогональности плоских волн, получим:
pp-{k')2C(k') + V UbC{k' -Ъ)= еС(к') (9.46) 2 гп0
или, введи обозначение = h2k2/(2m0),
(\k-e)C(k) + J2UbC(k-b) = 0. (9.47)
ь
Поэтому мы можем приннть
Фк(х) = Е С (к - Ь) ехр (г(к - Ь)х), (9.48)
ъ
откуда следует теорема Блоха дли волновой функции электрона в кристалле:
фк(х) = ^У^С(/г - Ъ) ехр (-ibx^j ехр (гкх) =
= ехр (ikx)Uk(x), (9.49)
где Uk(x) = Uk(x + R), R - вектор транслнций.
Вместо дифференциального уравнении Шредингера (9.43) получена система
алгебраических уравнений, свнзываюгцан коэффициенты С(кф) компонент
плоской волны какого-либо состоннин электрона со всеми С(к0 - Ь),
входнгцими в фурье-разложение этого состоннин. Решай эту систему линейных
уравнений, можно найти волновую функцию, удовлетворяющую уравнению
Шредингера. Но эта система состоит из бесконечного числа уравнений, так
как векторы принимают все возможные значения в обратной решетке. Это
можно увидеть, выписывая явным образом эту систему уравнений.
Пусть у нас имеется только одна фурье-компонента потенциала Ub0 = U-b0 =
U, где Ъ0 - наименьший вектор обратной решетки. Тогда система (9.47)
состоит из трех уравнений:
(^к0 - ?)С(к0) + U (С (kg + Ь0) + С (ко - Ь0)) = 0, (9.50а)
(^к0+ь0 - Ф)С(ко + b0) + U (С (ко + 2 Ь0) + С (к0)) = 0,
(9.506)
(^к0~ь0 - Ф)С(ко - b0) + U (С (ко) + С (ко - 2Ь0)) = 0. (9.50в)
230
Гл. 9. Энергетические зоны в твердом теле
Видно, что, кроме С(к0), есть связанные между собой коэффициенты С(к0-\-
2Ь0) и С(к0 - 2Ь0), для которых тоже нужно выписать уравнения из (9.47):
{^к0+2Ь0 ~s)C(ko-\-2b0)-\-U(С(к0-\-ЗЬ0)-\-С(к0-\-Ь0)^ -0, (9.51а) (^к0-
2Ь0 - s)C(k0 - 2Ь0) + U{C{k0 - Ь0) -\-С{к0 - З&о)) =0, (9.516)
где, в свою очередь, появились коэффициенты С(к0 + 360) и С(к0 - 3Ь0).
Этот процесс можно продолжить.
При практических вычислениях в методе разложения волновой функции
кристалла в ряд по плоским волнам система уравнений решается приближенно.
В самом простом случае вместо бесконечной системы уравнений приближенно
берется система из двух уравнений. Перепишем (9.47) в виде
откуда видно, что, если кинетическая энергия плоской волны близка к
энергии состояния, описываемого функцией фк(х), то коэффициент С (к)
оказывается большим. Это случай малых значений к, т.е. центра первой зоны
Бриллюэна. Если вектор к лежит вблизи границы первой зоны Бриллюэна, т.е.
вблизи середины вектора обратной решетки, то коэффициент при функции фк-
Ь'(х) также оказывается столь же большим, что и коэффициент при функции
(ж). Тогда имеем условие:
Условие (9.53) при строгом выполнении первого из равенств эквивалентно
соотношению:
Геометрически это означает, что конец вектора к лежит на перпендикуляре к
вектору Ь, проходящем через его середину, т.е. соответствует границе зоны
Бриллюэна. На рис. 9.3 изображено не что иное, как построение Эвальда для
