Основы физики твердого тела. - Зиненко В.И.
Скачать (прямая ссылка):
теплопроводности металлов. Выясним отличия, связанные с представлением об
электронах в металле как о ферми-газе. Для этого воспользуемся выражением
для коэффициента электронной теплопроводности (8.23), где, однако, вместо
средней тепловой скорости мы подставим скорость ферми-электронов:
Хэл = ^СэлКрА. (8.152)
Величина теплоемкости электронного газа была получена ранее
(8.134). Подставляя это выражение и соотношение (8.93) в (8.152),
получим:
7Г2 Пек\Т (л2 Пек2ът\ (ол^о\
Хэл = j" ' Vf ' А = "5---------Т¦ 8.153
3 m0v* V 3 m0 J
Взяв отношение коэффициента электронной теплопроводности
(8.153) к удельной электропроводности (8.146), получим:
Хэл (1/3)СЭЛУ2Т (тг2/3) • (пек1тТ/т0)
а (пее2т/то пее2т/то
= у Т = LKBT, (8.154)
где LKB - число Лоренца в квантовом приближении:
Lkb = ^ = ^VM = 2,45 . ю-8 Вт -Ом/К. (8.155) аТ 3 \ е /
Соотношение (8.154) - закон Видемана-Франца, который хорошо выполняется
для многих чистых металлов (см. табл. 8.1).
218
Гл. 8. Электроны в металлах
8.12. Взаимодействие электромагнитных волн с металлами
Рассмотрим взаимодействие плоской электромагнитной волны частоты и с
газом свободных электронов металла. В отсутствие столкновений уравнение
движения свободного электрона в электрическом поле имеет вид
d2x ^
га°- = - еЕ. (8.156)
Если х и Е зависят от времени по периодическому закону
х = ж0 ехр ( - iujt), Е = Eq ехр ( - iujt), (8.157)
то подстановка (8.157) в (8.156) дает
2 п
-Lo rriQX = - еЕ, х = ----. (8.158)
той;2
Индуцированный полем дипольный момент, связанный с электроном, может быть
вычислен так:
е2Е
р = -ех =-----------, (8.159)
ГПоСО1
а вектор поляризации будет иметь значение
пее2Е
Р = -епех =------------, (8.160)
ГПоСО1
где пе - концентрация электронов. Запишем общее определение
диэлектрической проницаемости, зависящей от частоты:
. . D(u) Р(ш) , .
Используя (8.160), запишем диэлектрическую функцию свободного
электронного газа:
е(и) = 1 - -^2. (8.162)
?0т0и>2
Введем величину
9 гаРе2
"П., = (8-163)
называемую плазменной частотой электронов. Тогда соотноше-
ние (8.162) примет окончательный вид
е(ш) = 1 - (8-164)
8.12. Взаимодействие электромагнитных волн с металлами 219
При всех частотах, меньших иэпл, величина е(ш) отрицательна. Для
электромагнитных волн справедлив закон дисперсии
uj2e(uj) = c2k2, (8.165)
где с - скорость света в вакууме, \к\ = 2л/X - волновой вектор
электромагнитной волны. Из (8.165) следует, что не существует волновых
решений при отрицательных значениях е(ш) - электромагнитная волна при
значениях частот 0 < ш ^ иэпл не может распространяться. Действительно,
используя (8.165), можем записать
D Lon U\/e(u)
к= - = - = V V Д 8.166
vcp с с
где vcp - скорость электромагнитной волны в среде с показателем
преломления п. Поскольку для указанного диапазона частот €(ш) < 0, то,
принимая, что волна является плоской, можем записать
Е = Ео ехр (i(ut + /гж)) = Ео ехр ( ш (t + -
= Ео ехр ^ ^ехр (jut). (8.167)
Видно, что волна имеет множитель экспоненциального затухания, причем
амплитуда уменьшается в е раз на глубине х = 1/1 Л; |. Волны, падающие на
такую среду с частотами в указанном диапазоне, полностью отражаются.
Электронный газ действует как частотный фильтр и становится прозрачным
лишь для частот ш > > и>пл, поскольку в этой частотной области
диэлектрическая функция положительна (рис. 8.13).
Значения плазменной частоты и плазменной длины волны зависят только от
концентрации электронов (табл. 8.4).
Таблица 8.4. Зависимость плазменной частоты и плазменной длины волны от
концентрации электронов
пе (см 3) 1022 1018 1014 1011
^пл, рад/с Апл 5 СМ 5, 7 • 1015 3,3- 1СГ5 5, 7 • 1013 3,3- 1СГ3 5, 7
• 1011 0,33 5, 7 • 109 33
Электромагнитное излучение будет распространяться в среде только в том
случае, если в свободном пространстве длина волны
220
Гл. 8. Электроны в металлах
этого излучения будет меньше Апл. Из полученных выше соотношений и из
табл. 8.4 следует, что простые металлы должны отражать свет в видимой
области (этим объясняется металлический
Рис. 8.13. Зависимость диэлектрической функции электронного газа в
металле от частоты
блеск металлов) и быть прозрачными в ультрафиолетовой области спектра
(табл. 8.5).
Таблица 8.5. К прозрачности щелочных металлов в ультрафиолетовой области
спектра
Металл Li Na К Rb
4ПЛ, А (вычисл.) 4Пл, А (экспер.) 1550 1550 2090 2100 2870 3150 3220
3400
Отражение света от металлов полностью аналогично отражению радиоволн от
ионосферы, поскольку наличие свободных электронов в ионосфере приводит к
тому, что диэлектрическая проницаемость ионосферной плазмы становится
отрицательной для относительно низких частот в силу сравнительно малой
концентрации электронов.
Задачи
8.1. Рассчитать значения энергии eF, скорости vF и температуры TF Ферми
для меди.
8.2. Рассчитать вероятность того, что энергия электрона отличается на 0,1
эВ от энергии Ферми при температуре 20 К.
8.3. Объяснить причины наблюдаемого отличия расчетного и
