Основы физики твердого тела. - Зиненко В.И.
Скачать (прямая ссылка):
дифракции рентгеновских лучей (см. гл. 2), которое оказывается
справедливым и для электронов с длинами волны де Бройля, соответствующими
границе первой
^ ^ е - h2k2/(2m0)
Е иъс{к - ь)
п
(9.52)
-о
-о
(9.53)
благодаря чему:
^ ^ е - h2(k - Ь')2 / (2т0)
^иъС{к-Ъ' -Ъ)
ь
(9.54)
\к\ = | к- Ь\.
(9.55)
9.3. Электроны в слабом периодическом потенциале
231
зоны Бриллюэна. Тем самым условие (9.55) означает брэгговскую дифракцию
электронов на кристаллической решетке.
Таким образом, валентные электроны в кристалле испытывают дифракцию на
кристаллической решетке, как электроны и рентгеновские кванты, падающие
на кристалл извне. Следовательно, для состояний с волновым вектором
вблизиграницы зоны Бриллюэна при вычислении волновой функции и энергии
электрона в кристалле мы можем оставить только два больших коэффициента,
соответствующих особенностям (обращению в бесконечность) соотношений
(9.52) и (9.54), полагая остальные равными нулю.
Сначала рассмотрим случай, когда конец вектора к лежит точно на границе
зоны Бриллюэна, т.е. пусть выполняется
'¦2-(1г.\ ¦ (к - Ь0)2 = (Ь0 - Ь0) = (ho) . (9.56)
Рис. 9.3. Построение Эвальда для валентных электронов
V = ( 26°
Кинетические энергии компонент волн с множителями ехр {гкх) и ехр {i{k -
Ъ0)х) одинаковы:
h2
к2 =
h2
{к - Ъо)2 =
h2
(9.57)
2 т0 2 т0 2 т0
В результате из бесконечной системы уравнений (9.47) остаются два
уравнения для коэффициентов С((1/2)Ь0) и С((-1/2)Ь0):
(А!-д)с( h^ -u.ct^-hо) =0,
(А-! - е)С ( ~7^Ьо \ -и^С (ho) =0,
(9.58)
где Aj = А_! = (ft2/2m0)(V2)2; ui = иъ0 = и-ъ0-
Система (9.58) имеет нетривиальное решение, когда энергия е удовлетворяет
уравнению
их
Aj - 8 Ui
Из (9.59) имеем:
Ai - 8
h2
= о.
(9.59)
232
Гл. 9. Энергетические зоны в твердом теле
Итак, видно, что на границе зоны Бриллюэна для энергии электрона имеется
два решения:
1) значение энергии ниже, чем значение энергии свободного электрона:
?1 = ^0{1Ь°) ~Ul= ?св ~ Ul' (9'61)
2) значение энергищ которое выше энергии свободного электрона:
?2 = ^г0{\Ь°) +и1=?с* + и1. (9.62)
В промежутке от ?\ до ?2 существует область запрещенных значений.
Найдем волновые функции в точке к = (1/2)Ь0- Из (9.44), (9.58) и (9.9)
при U\ < 0 получаем:
ф =
ехр ((l/2)ib0x) + ехр ((-l/2)ib0x) _ г- /1 \
V Z COS ^ ^ OqX j .
(9.63)
ф+ = iy^sin (2^0ж) • (9.64)
Отсюда видно, что \ф~\2 максимальна вблизи х = 0 и всюду вблизи узлов
решетки. Отрицательность U\ соответствует потенциалу притяжения для
электрона, и волновая функция ф~ описывает состояние, в котором электроны
сконцентрированы вблизи узла, причем их энергия ниже, чем энергия
свободного электрона. Напротив, для состояния с волновой функцией ф+
энергия увеличена по сравнению с энергией свободного электрона, так как в
этом случае плотность электронов больше в межузельных областях.
Рассмотрим теперь случай, когда волновой вектор близок к границе зоны
Бриллюэна. Опять ограничимся двухкомпонентным приближением, в котором
волновая функция имеет вид
ф(х) = С (к) ехр (ikx) + С (/г - - 60) ехр (г (/г - -Ь0
(9.65)
9.3. Электроны в слабом периодическом потенциале
233
Для отыскания энергии нужно решить систему уравнений
(А* - e)C(k) - UXC (к - h0) = О, (Afc_60/2 - е)С (к - h0) + U,C(k) = 0.
(9.66)
Система уравнений относительно С (к) и С(к - Ь0/2) имеет нетривиальное
решение при условии
= 0.
(9.67)
Afc - s U\
Ul ^к-Ь0/2 - е Корни квадратного уравнения (9.67) имеют значения
?1,2 = 2 (Afc-60/2 + Afc) ± \j-(Afc_6o/2 + Afc)2 + Щ. (9.68)
Каждый из корней описывает зону энергий. Качественная зависимость е(к)
показана на рис. 9.4. При к, очень близких к гра-
Вторая // разрешенная // зона у//
/
/
I / Закон дисперсии Запрещенная ^_ свободных электронов
Рис. 9.4. Зависимость энергии электрона от волнового вектора в слабом
периодическом потенциале
нице зоны Бриллюэна, выполняется: к к, Ъ0/2. Тогда для упрощения вида
решения (9.68) можно использовать разложение по малому параметру
5 = -Ъ0 - к. 2 0
(9.69)
В области значений энергий h252/(2m0) <с U\ имеем для ветвей
дисперсионных зависимостей во второй и в первой разрешен-
234
Гл. 9. Энергетические зоны в твердом теле
ной энергетических зонах, соответственно:
2
(9.70а)
2
(9.706)
где Хг = (h2/2m0)(b0/2)2.
9.4. Модель сильно связанных электронов
Рассмотрим модель сильно связанных с ионами электронов (валентных
электронов), применимую для случая, когда расстояния между соседними
атомами велики по сравнению с их размерами. Пусть "кристалл" представляет
собой бесконечную цепочку одинаковых, одновалентных, периодически
расположенных атомов. Обозначим через <pg(r - волновую функцию валентного
электрона, где g - номер атома в цепочке, г и - радиусы-векторы электрона
и g-го атомного остова. Подставляя эту волновую функцию в уравнение
Шредингера (9.7), получим:
где Ug(г) - потенциальная энергия взаимодействия электрона с д-м атомом,
еа - собственное значение энергии, соответствующее функции срд, т.е. это
дискретный энергетический уровень валентного электрона в данном атоме.
