Основы физики твердого тела. - Зиненко В.И.
Скачать (прямая ссылка):
изменит свое состояние так, что его волновой вектор изменится на величину
Sk=-^St. (8.141)
Следовательно, электроны будут по-прежнему заполнять сферу
энергетического пространства, однако положение ее центра оказывается
смещенным на величину (8.141) (рис. 8.12). Теперь полный импульс системы
из N электронов будет равен
Р = HNSk. (8.142)
Включение постоянного электрического поля увеличит энергию этой системы
на величину
A E = N<yh6k^. (8.143)
2 m0 V '
Казалось бы, при действии электрического поля в течение неограниченно
большого промежутка времени положение сферы Ферми должно постоянно
изменяться пропорционально времени. Однако сфера Ферми стационарно
сохраняет свое смещенное положение вследствие столкновения электронов с
примесями, дефектами решетки или фононами. Действительно, если бы центров
рассеяния для электронов не существовало, последние под действием
постоянной силы должны были бы двигаться равноускоренно. Однако дефекты
строения и колебания решетки оказывают тормозящее действие на систему
электронов, благодаря чему можно говорить,
8.10. Электропроводность и закон Ома
215
что электроны движутся с некоторой постоянной средней (дрейфовой)
скоростью, обусловленной наличием постоянного электрического поля.
Если среднее время между столкновениями равно St = г, то стационарное в
данном поле смещение сферы Ферми определяется соотношением (8.141),
откуда для приращения скорости получим:
Обращая внимание на рис. 8.12, можно сделать вывод, что в основном новое
положение занимают электроны, находившиеся вблизи
Рис. 8.12. Положение сферы Ферми: a - при отсутствии поля; б- в
приложенном электрическом поле
поверхности Ферми и обладавшие наибольшей энергией (энергией Ферми).
Именно эти электроны участвуют в создании тока. Если концентрация
электронов проводимости равна пе, и каждый электрон имеет заряд q = -е,
то плотность электрического тока определяется формулой типа (8.12):
Это выражение имеет вид закона Ома, где коэффициентом пропорциональности
между током и напряжением является удельная электропроводность
Удельное электрическое сопротивление есть величина, обратная удельной
электропроводности:
(8.144)
то0 т0
a
б
j = -eneSw
Е = сгЕ.
(8.145)
то0
(7 =
пее2т гаее2А(еР)
(8.146)
то0 m0v р
1 то0
(8.147)
Р=~ = -----j-.
ег пеегт
216
Гл. 8. Электроны в металлах
Поскольку в знаменателе (8.146) стоит скорость ферми-элект-ронов, не
зависящая от температуры:
единственной величиной в (8.146), зависящей от температуры, является
длина свободного пробега ферми-электронов. Из экспериментальных значений
электропроводности следует, что для хороших проводников эта величина
должна составлять при комнатных температурах несколько сот ангстрем и
становится еще больше при понижении температуры, что гораздо больше
межатомных расстояний. Отсюда возникают два вопроса:
1. Почему не происходят ожидаемые упругие соударения электронов с
атомными остатками?
2. Какие процессы рассеяния на самом деле определяют среднюю длину
свободного пробега электронов проводимости в металлах?
Необходимость отказа от представления о рассеянии электронов на ионных
остовах оказывается совершенно понятной, если мы рассматриваем электрон в
идеальном кристалле как волну в периодической структуре, относительно
которой волны должны распространяться беспрепятственно.
Тогда рассеяние электрона-волны может происходить только при нарушении
идеальности расположения атомов в кристалле - на фононах и остаточных
дефектах структуры. Под остаточными дефектами понимают посторонние атомы
в решетке, вакансии, междоузельные атомы, дислокации, границы зерен и
внешние поверхности кристалла. Очевидно, что средняя длина свободного
пробега Адеф, обусловленная только рассеянием на дефектах, не должна
зависеть от температуры, в то время как для фононного рассеяния средняя
длина свободного пробега Афон будет уменьшаться с увеличением
температуры. При одновременном действии этих двух механизмов средняя
длина свободного пробега должна иметь вид
Аналогичное соотношение выполняется для удельного электрического
сопротивления (проводимости) металлов (правило Матис-сена):
(8.148)
•М^1) Адеф Афон(Г)
(8.149)
<7 (4 J 0деф 07
1
(Т) Адеф Афон(Г)
ЧИСТ
Можно ожидать, что средняя длина свободного пробега, определяемая
рассеянием на фононах, для температур, превышающих
8.11. Теплопроводность металлов и закон Видемана-Франца 217
температуру Дебая, должна изменяться обратно пропорционально температуре,
поскольку из (5.14) следует, что при высоких температурах число фононов
пропорционально температуре:
1 1 кв
фон ехр [hu/(kBT)^ - 1 1 + hm/(kBT) - 1 hu>
Учитывая результат (8.151) и принимая во внимание соотношение (8.150),
легко понять реально наблюдаемую на опыте линейную зависимость
электрического сопротивления металлов от температуры при высоких
температурах.
8.11. Теплопроводность металлов и закон Видемана-Франца в квантово-
механическом представлении
Ранее (п. 8.3.3) рассматривалось классическое представление о
