Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Зиненко В.И. -> "Основы физики твердого тела." -> 73

Основы физики твердого тела. - Зиненко В.И.

Зиненко В.И., Зиненко В.И., Сорокин Б.П., Турчин П.П. Основы физики твердого тела. — Физматлит, 2001. — 331 c.
Скачать (прямая ссылка): osnovifiziktverdogotela2001.djvu
Предыдущая << 1 .. 67 68 69 70 71 72 < 73 > 74 75 76 77 78 79 .. 110 >> Следующая

экспериментального значений числа Лоренца при низких температурах.
8.4. Вычислить давление электронного газа меди при ОК. Плотность меди р
к, 8900кг/м3, атомная масса 63,5.
Глава 9
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ЗОНЫ В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ
Модель свободных электронов в металлах позволяет объяснить ряд
электронных свойств металлов, однако многие свойства твердых тел в рамках
этой модели не находят объяснения. Действительно, в этой модели нет
какого-либо механизма взаимодействия электронов с решеткой. Так, эта
модель не объясняет, почему одни химические элементы в кристаллическом
состоянии являются хорошими проводниками, другие - диэлектриками или
полупроводниками.
Чтобы выяснить различие между проводниками и диэлектриками, необходимо
усложнить модель свободных электронов наличием периодической атомной
структуры и, как следствие, модификацией вида волновой функции электрона
в твердом теле. Непосредственным следствием этого является возникновение
энергетической зонной структуры твердого тела - разрешенных и запрещенных
энергетических интервалов (зон) для электронных состояний.
9.1. Волновая функция электрона, находящегося в периодическом потенциале
кристалла. Теорема Блоха
Для анализа примем определенные упрощающие предположения:
1) при движении электронов атомные ядра (ионные остовы) рассматриваются
как неподвижные источники поля, действующего на электроны;
2) ионы расположены точно в узлах идеальной кристаллической решетки
(отсутствуют тепловые колебания);
3) взаимодействие электронов между собой и с полями атомных ядер
заменяется эффективным полем: считается, что существует система
независимых электронов, движущихся в некотором заданном поле
(одноэлектронная задача).
Обозначим через U(г) потенциальную энергию электрона, находящегося в
кристаллическом поле. Эта величина должна быть периодической функцией
расстояния:
U(r) = U(r + ап),
(9.1)
222
Гл. 9. Энергетические зоны в твердом теле
где г - произвольный радиус-вектор, ап - любой вектор трансляции. Как
и ранее (гл. 8), волновая функция и энергетические
уровни электрона могут быть получены из решения уравнения
Шредингера
Нф = еф, (9.2)
где, однако, оператор энергии (гамильтониан) содержит члены, связанные с
кинетической и потенциальной энергией:
Н=^ + ЩР (9.3)
Здесь т0 - масса свободного электрона, а дифференциальный оператор
импульса в трехмерном случае имеет вид
.. <9 " д " д
^ = (9.4)
р = -ihV.
Подстановка (9.4) в (9.2) позволяет получить в явном виде: h2
2 т0
V ф(г) + и(г)ф = еф(г). (9-5)
В этом уравнении не учтено, что должна существовать зависимость волновой
функции электрона от спина. Физический смысл волновой функции может быть
определен так: |^(г)12dV - это вероятность обнаружить электрон в объеме
пространства dV = = dxdydz. Если взять интеграл по всему пространству, то
выполняется
i J mr)\2dv = i. (9.6)
V
Это условие нормировки для волновой функции. Сделаем в уравнении (9.5)
замену аргумента волновой функции г -> г + ага:
h2
V2-0(r + an) + и(г)ф(г+ ап) = еф(г + ап). (9.7)
2 т,
Функция ф(г + ап) будет удовлетворять уравнению Шредингера (9.7) с тем же
значением энергии е, что и для функции Дг), если эти функции отличаются
на некоторое число
ф(г + ап)=Спф(г). (9.8)
9.1. Волновая функция электрона
223
Так как -ф-функции должны быть нормированы, то из условия (9.6) и из
(9.8) следует
I Сп\2 = 1 (9.9)
И
\ф{т + а.п)\2 =\ф(т)\2. (9.10)
Очевидно, что условие (9.10) означает, что электрон с одинаковой
вероятностью может быть обнаружен как в объеме dV около точки с радиус-
вектором г, так и в аналогичном объеме около эквивалентной точки с
радиус-вектором г + ага. Иначе говоря, распределение электронов обладает
пространственной периодичностью.
Добавляя к вектору ап некоторый вектор ап> = п\а\ + п'2а2 + + Ид ад, с
помощью (9.8) можем получить:
ф{г + ап + ап>) = Сп>Спф(г). (9-11)
Легко показать, что
ап - З-п'+т (9.12)
где пип1 - целые числа. Следовательно, выполняется
ф(г + ап + ani) = ф(г + ап,+п) = Сп>+пф( г). (9.13)
Сравнивая (9.13) и (9.11), имеем
Сп,Сп = Сп,+п. (9.14)
Соотношению (9.14) удовлетворяют величины вида
Сп = ехр (гкап). (9.15)
Поэтому с помощью (9.8) и (9.15) получим:
ф(г + ап) = ехр фкап)ф(г). (9.16)
Умножая на ехр ( -гк(г + ага)) обе части соотношения (9.16), по-
лучим:
ехр ( -гк(г + ап)) ¦ ф(г + ап) = ехр (-гкг)-ф(г). (9-17)
Введем обозначение
Ик(г) = ик(г + ап) = ехр (-гк(г + ап)) ¦ ф(г+ап). (9.18)
Подставляя (9.18) в (9.17), получим важное соотношение - теорему Блоха:
ф{г) = ехр (гкг)ик(г), (9.19)
224
Гл. 9. Энергетические зоны в твердом теле
согласно которой волновая функция электрона, движущегося в периодическом
поле внутрикристаллического потенциала, представляет собой модулированную
плоскую волну - произведение волновой функции свободного электрона на
амплитуду, периодически меняющуюся в кристалле. Величина к в (9.19)
называется ква-зиволновым вектором.
Если электрон свободен, то U(r) = 0, и уравнение Шредингера будет иметь
Предыдущая << 1 .. 67 68 69 70 71 72 < 73 > 74 75 76 77 78 79 .. 110 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed