Основы физики твердого тела. - Зиненко В.И.
Скачать (прямая ссылка):
определения структуры энергетических зон исходя из химических свойств
атомов.
Соотношение (9.89) показывает, как влияет поле кристаллической решетки на
энергетический спектр электронов.
238
Гл. 9. Энергетические зоны в твердом теле
1. Атомный энергетический уровень еа сдвигается на постоянную, не
зависящую от ?, величину
U{0) = J 4>1(т)(у - Us)<ps(t) dr, (9.90)
v
равную средней энергии электрона, локализованного на каком-либо д-м
атоме, в поле остальных атомов.
2. Дискретный атомный уровень еа "размывается" в энергетическую зону: при
изменении параметра -ж ^ ^ 7Г послед-
нее слагаемое в правой части (9.89) непрерывно изменяется от
- {/(0)5(1) | до +2|{/(1) - С/(0)5(1)|. Все значения энергии в этом
интервале могут быть заняты электронами. Ширина этого интервала (ширина
разрешенной зоны) составляет величину
Де = 4|{/(1) - С/(0)5(1)| (9.91)
и определяется степенью перекрытия волновых функций атомов <рд и <-рд±\.
С уменьшением перекрытия (с увеличением межатомного расстояния) ширина
зоны быстро стремится к нулю - зона "стягивается" в дискретный уровень.
Рассмотрим важный случай значений квазиволнового вектора, лежащих вблизи
центра зоны Бриллюэна: к -> 0 (? -> 0). Дляана-лиза используем разложение
в ряд! cos^ ^ 1 ^2/2. Подстановка
этого выражения в (9.89) приводит к соотношению для энергии
е = e0 + \U(l) - t/(0)5(l)\k2d2, (9.92)
где е0 - минимальное значение энергии:
А" = ?а + и(0) + 2(U(1) - //(0)5(1)). (9.93)
В (9.92) значения квазиволнового вектора отсчитываются от минимального
значения энергии (9.93). Соотношение (9.92) также может быть записано в
виде
h2k2
+ (9-94)
где введено обозначение
Ш = 2d2\U(l) - {/(0)5(1)| ^9'95^
- эффективная масса электрона в кристалле. Следует отметить, что она
уменьшается при увеличении ширины разрешенной зоны. Знак разности U( 1) -
{/(0)5(1) определяет, лежит ли минимум энергии (дно зоны) в точке к -> 0
(? -> 0) в центре зоны Бриллюэна, или на границе зоны Бриллюэна при ? =
тг.
9.4. Модель сильно связанных электронов
239
Аналогичное выражению (9.94) соотношение может быть получено на границе
зоны Бриллюэна при ? = 7Г, однако эффективная масса в этом случае
отрицательна:
h2k2 .
е = const -|-----, m < 0. (9.96)
2m'
В (9.96) значения квазиволнового вектора отсчитываются от максимального
значения энергии (потолка зоны). Разность постоянных уровней энергии
между (9.96) и (9.94) равна ширине разрешенной зоны. Энергетические
состояния частиц с отрицательной эффективной массой оказываются
сконцентрированными в окрестности границы зоны Бриллюэна. Такие частицы
получили название дырок.
Выражения (9.94) и (9.96) по форме совпадают с формулой для энергии
свободных электронов. Это важное обстоятельство указывает на то, что
поведение зонных электронов с малыми значениями квазиволновых векторов
(дырок с квазиволновыми векторами, соответствующими границе зоны
Бриллюэна) должно быть подобным поведению свободных электронов. Значения
эффективной массы для электронов и дырок, как правило, различны, хотя из
приведенной упрощенной теории этого и не следует.
Зависимость энергии зонного электрона от квазиволнового вектора (закон
дисперсии электронов в твердом теле), соответствующая соотношению (9.89),
показана на рис. 9.5.
Из рис. 9.5 следует, что, в отличие от свободных электронов, энергия
зонных электронов в твердом теле может меняться только
Рис. 9.5. Разрешенная энергетическая зона в модели сильно связанных
электронов. Штриховой линией показан закон дисперсии свободных электронов
в ограниченном интервале ширины разрешенной зоны при любых значениях
квазиволнового вектора. Вследствие периодичности картины достаточно
рассматривать изменения энергии в пределах первой зоны Бриллюэна.
Энергетические зоны в кристаллах возникают в результате "размытия"
дискретных уровней энергии электронов в атомах, обусловленного
взаимодействием электронов с соседними (и более дале-
240
Гл. 9. Энергетические зоны в твердом теле
кими) атомами решетки за счет перекрытия волновых функций. Согласно
принципу Паули, два электрона не могут находиться в одинаковых квантовых
состояниях, в результате чего при объединении атомов в кристалле и при их
сближении должно произойти снятие вырождения по энергиям - электроны,
первоначально занимавшие в одинаковых атомах одинаковые квантовые
состояния, обязаны занять новые энергетические уровни. Поскольку в
кристалле содержится большое количество электронов, возникает
энергетический спектр разрешенных электронных состояний - разрешенная
зона. Вспоминая, что мы имели дело с валентными электронами атомов в
цепочке в s-состоянии, получим одну энергетическую зону (Фб'-зона), в
которой расположены все электронные состояния. Если в атомах существуют
электроны в других электронных состояниях, можно ожидать появления,
помимо З.б'-зоны, еще одной 25'-зоны, трех 2Р-зон, одной Зб'-зоны, трех
ЗР-зон, пяти З-О-зон и т.д. Ширина энергетических зон, произошедших из
