Основы физики твердого тела. - Зиненко В.И.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть <рд описывает s-состояние. Тогда уровень еа вырожден двукратно
только по спину.
В силу предположения об идентичности атомов цепочки функции ipg с
различными номерами отличаются друг от друга только тем, что они
центрированы относительно различных атомов, однако уровни энергии,
которые им соответствуют, должны быть одинаковыми.
Вблизи g-го атомного остова валентный электрон движется в основном так
же, как и в изолированном атоме. При постепенном сближении атомов
валентный электрон начинает взаимодействовать с другими ионными остовами,
в результате чего модифицируется его волновая функция. Поэтому будем
искать решения уравнения Шредингера для электрона в кристалле в виде
линейной комбинации атомных волновых функций валентных электронов:
(9.71)
iHr) = XX w
9
(9.72)
9.4. Модель сильно связанных электронов
235
Подставляя решение (9.72) в уравнение (9.5), получим:
00 ^ \
7"! ag 2m ^ Т'з + (Д - Ug)<pg + Ug<pg ~ ?LPg\ = 0- (9.73)
д=-со О
Используя уравнение (9.71), выражение (9.73) представим так:
ОО
/ , "9
д - - оо
an((ea - е)(рд + (U - Ug)<pg) = 0. (9.74)
Помножим (9.74) на комплексно сопряженную волновую функцию электрона в
изолированном атоме д' и проинтегрируем по координатам электрона г.
Обозначим возникающие интегралы так:
J V*g>4>gdr = Sg.g (9.75)
- интеграл перекрытия, который является мерой перекрытия волновых функций
различных атомов по мере их сближения;
j Лд'(и - Ug)pgdr = ид1д (9.76)
- интеграл переноса, который показывает степень опосредованного
взаимодействия электронных волновых функций, центрированных на различных
атомах, и возникающего вследствие взаимодействия электронов с
кристаллической решеткой.
Волновые функции электронов в атоме ортонормированы:
Sgg = J ^gdr = 1. (9.77)
При д' ф д Sgig ф 0, но малы по сравнению с единицей, поскольку
мы предполагали, что атомы в цепочке находятся на сравнительно больших
расстояниях, и степень перекрытия волновых функций невелика.
Так как все атомы в цепочке одинаковы, интегралы Sgig и Ugig не могут
зависеть от того, где именно расположены атомы д' и д, существенно
только расстояние между ними. Следовательно,
можно записать:
Sg,g = S(\g'-g\), Ug,g = U(\g'-д\). (9.78)
Равенства (9.78) представляют собой выражение идентичности всех атомов в
решетке и постоянства расстояний между ними и являются следствием
трансляционной инвариантности рассматриваемой задачи.
236
Гл. 9. Энергетические зоны в твердом теле
В силу того, что вид волновой функции (9.72) должен соответствовать
теореме Блоха (9.19), предположим, что коэффициенты ад имеют вид
ад = ехР (*?<?), (9-79)
где параметр ? будет определен ниже. Подставляя (9.79) в уравне-
ние (9.74) и принимая во внимание (9.78), получим
ОО
Y exP(i^){(?a-^)S(W ~ д^ + иЦд1 - д\)) = 0. (9.80)
д=-со
Сделаем в (9.80) замену переменной д' - д = д". Сокращая на величину ехр
(*?</), имеем
ОО
Y ехр (-*&") ((еа -e)S'(|/|) + U(\g"\)) = 0. (9.81)
д"=-оо
Выражение (9.81) - это условие для определения собственных значений
энергии. Заменяя в (9.81) индекс суммирования д" на д, получим
ОО
X ехр (-ДбО?ДЬ1)
е = еа + Я-ЦР~ • (9-82)
Е ew(-i?g)S(\g\)
д=-оо
Выделим из сумм в (9.82) члены с д - 0:
оо
11(0) + 2 Е U(g) cos ? = ?а-\------------^--------------• (9.83)
1 + 2 Е S(g) cos?д д=1
Параметр ? представляет собой одномерный аналог квазиволнового вектора.
Действительно, из соотношений (9.72) и (9.79) следует
ОО
^(r) = Y ехр (Дй')7,я(г-кя)- (9-84)
д=-оэ
Введем векторы k = (?/d, 0,0) и Ид = (d#,0,0). Тогда (9.84) можно
переписать так:
оо
ф(г) = Е ехр (г(к, R3))(^3(r - R3) = ехр (гкг)С/к(г), (9.85)
д--оо
9.4. Модель сильно связанных электронов
237
где введено обозначение для функции с периодом d:
со
?4(r) = ^ ехр (i(k, - г))(^д(г - Rfl). (9.86)
g=-cо
Выражение (9.85) для волновой функции имеет вид функции Блоха.
Распространение данного подхода на случай трехмерного кристалла возможно,
если провести замену: g -> g (вектор, компоненты которого - целые числа),
? -> ?. Последний из вновь введенных векторов связан с квазиволновым
вектором соотношениями
= ai&i, ^2 = a2^ 2, = °з^з- (9.87)
Тогда выражение (9.83) для трехмерного случая будет иметь вид
ОО
77(0)+ 2 ? 77(g) cos?g ? = ?a-\ • (9.88)
1 + 2 E ^(g) cos?g g=i
Интегралы ?/(g) и 5(g) быстро убывают с расстоянием g между
взаимодействующими атомами. Поэтому в суммах в (9.88) можно оставить
только первые члены рядов:
ОО
?/(0) + 2 Е 77(g) cos?g
е = е | g=1_________________| ^(°) + 2^(1) cose ^
" l + 2+S(8)(tm)& ~ 1+ """¦< ~
g = l
и Да + (Т/(0) + 2?7(1) cos^) (1 - 25(1) cos^) =
= еа + ?7(0) + 2?7(1) cos^ - 2?7(0)5(1) cos^ - 4?7(1)5(1) cos2^ и
и Да + ?7(0) + 2(?7(1) - ?/(0)5(1)) cos^. (9.89)
Интегралы ?7(g) и 5(g) в (9.89) можно вычислить, зная явный вид волновых
функций изолированных атомов. Другой путь - рассматривать их как
параметры задачи, подлежащие определению из эксперимента. При этом
недостатки расчета исчезают, но теряется возможность непосредственного
