Основы физики твердого тела. - Зиненко В.И.
Скачать (прямая ссылка):
вид
_^~v2^(r) = ?lHr), (9-20)
и его решения для электрона - волны де Бройля - известны:
ф(г) = ехр (гкг), (9.21)
где к - волновой вектор волны де Бройля, который связан с импульсом
электрона соотношением
р = to0v = hk. (9.22)
Энергия свободного электрона выражается через импульс известным
выражением
р2 h2k2
Е= - = ---------. 9.23
2 т0 2 т0
Импульс волны де Бройля характеризует движение свободного электрона,
когда система электронов в пространстве обладает инвариантностью
относительно сдвига на любой вектор (все точки пространства
эквивалентны). Квазиволновой вектор (и соответствующий ему квазиимпульс)
характеризуют движение электрона в периодическом поле, когда система
электронов в пространстве кристалла инвариантна относительно сдвига на
векторы решетки ага (эквивалентны только точки, удаленные друг от друга
на вектор ап).
Анализируя (9.16), можно сделать вывод о том, что волновая функция
электрона в твердом теле должна быть инвариантной относительно замены
квазиволнового вектора к -> к + Ь, где b - произвольный вектор обратной
решетки (1.35).
Следовательно, квазиволновой вектор к электрона, как и фонона, определен
с точностью до произвольного вектора обратной решетки. Это обстоятельство
позволяет ограничить изменение компонент квазиволнового вектора конечной
областью, исчерпывающей все физически неэквивалентные значения:
- 7Г ^ kjaj ^ 7Г,
-7г ^ к2а2 ^ 7г, (9.24)
-я- ^ к3а3 ^ п.
9.2. Модель Кронинга-Пенни
225
Как показано в главе 4, неравенства (9.24) определяют объем в /г-
пространстве, называемый первой зоной Бриллюэна.
Для кристалла конечных размеров, содержащего определенное число
электронов, должны выполняться периодические граничные условия Борна-
Кармана для волновой функции, аналогичные (5.28), в результате чего
значения квазиволнового вектора электрона принимают дискретный набор
значений, аналогичный
(5.32).
9.2. Модель Кронинга-Пенни
Сначала рассмотрим одномерную модель с кристаллическим потенциалом,
показанным на рис. 9.1. В этом случае период ре-
-q 0 р а х
Рис. 9.1. Периодический потенциал кристаллической решетки в модели Кро-
нинга-Пенни
шетки равен а = р + q, и потенциал 11{х) определяется так:
U0 при 0 ^ х ^ р,
U(x) =
О при - q ф. х ^ 0.
(9.25)
Уравнение Шредингера в области - q ф. х ^ 0 имеет вид (9.20), а для
области 0 ^ х ^ р получим:
П2
V2 + U0 ) ф(х) = еф(х).
Введем обозначения
2 2тОе 02 ОТ = Р =
2 т0 т,
К2 ' г К2
2m0(U0 - е)
(9.26)
(9.27)
Тогда вместо (9.26) можно написать уравнения: д2
--ф(х) = -а2ф(х) в области -а < х < 0, дхг
д2
--ф(х) = /32ф(х) в области 0 ^ х ^ р. охг
(9.28)
226
Гл. 9. Энергетические зоны в твердом теле
Нас будут интересовать решения с энергиями е < U0. В области - q ф. х ^ 0
(и всех аналогичных) общее решение имеет вид
ф(х) = Аегах + Ве~гах, (9.29а)
в области 0 ^ х ^ р (и всех аналогичных)
ф{х) = Се13х+ De-fjx. (9.296)
Решетка имеет трансляционную инвариантность относительно векторов
трансляций R = па = п(р + q), где п - любое целое число. Следовательно,
должно выполняться равенство (9.10)
\ф(х) |2 = \ф(х + па) |2, (9.30)
откуда
ф(р < х < а) = ф( - q < х < 0)etka, (9.31)
где к - однокомпонентный волновой вектор.
Волновые функции ф{х) и их первые производные (1ф{х))(1х должны быть
непрерывны на границах областей х = 0 и х = р. Это дает при х = 0 условия
для коэффициентов:
А + В = С + D,
(9 32)
ia(A-B) = (3{С -D).
При х = р, с учетом (9.31), имеем:
Аегар + Ве~гар = (Ce~fjq + Defjq)elka,
(9.33)
ш(Пега!3 - Be~iap) = f3(Ce~fjq - L>e^)e*fca.
Система (9.33) имеет решение при равенстве нулю определителя,
составленного из коэффициентов при А, В, С, D:
(Р? - си^)
-^- sh (]3q) sin (ар) + ch (j3q) cos (ap) = cos (ka). (9.34)
Если подставить обозначения (9.27), получим дисперсионное уравнение
зависимости энергии от волнового вектора е(к).
Уравнение (9.34) можно несколько упростить, представив потенциал в виде
5-функции в узлах цепочки. Для этого положим U0 -т- оо, q -> 0 при U0q =
const. В этом случае из (9.27) получаем, что /3 ^ a, [3q <с 1, и
уравнение (9.34) принимает вид
F
f(ap) = - sin (ар) + cos (ар) = cos (кр), (9.35)
ар
где F = /32pq/2.
9.3. Электроны в слабом периодическом потенциале
227
Уравнение (9.35) остается трансцендентным, но можно увидеть, что оно
имеет решение не при всех значениях а (т.е. энергии, согласно (9.27)).
Области значений ар при F = 37Г/2, для которых нет решений (9.35),
показаны штриховой на рис. 9.2.
Рис. 9.2. Области решений для энергии электрона в модели Кронинга-Пенни
Отсюда следует, что энергетический спектр электрона в периодическом
потенциале представляет собой области разрешенных и запрещенных значений.
Заштрихованы "запрещенные" энергетические состояния.
Следует отметить, что модель Кронинга-Пенни качественно правильно
описывает предельные случаи свободного электрона и электрона,
локализованного на атоме. В случае свободного электрона следует положить
U0 = 0. Тогда из (9.35) имеем:
