Основы физики твердого тела. - Зиненко В.И.
Скачать (прямая ссылка):
совокупности мы не можем - действует принцип тождественности микрочастиц.
Отсюда следует, что для случая Т = 0 любой электрон может занять любое из
указанных энергетических состояний, иначе говоря, каждое из состояний
21У-кратно вырождено (N - число электронов в кристалле). Ясно,
Рис. 8.10. Функция распределения Ферми-Дирака и плотность электронных
состояний проводящего твердого тела при Т = 0. Заштрихованы занятые
состояния
что критерием степени вырождения в энергетической шкале служит энергия
Ферми. Иногда более удобно использовать такой параметр, как температура
Ферми, которая, с помощью (8.107), определяется так:
eF б2 ( 3tT2N\2^3 h2 О 2/3
TF = -^ = -----------------------=------- Зтг2гае 2/3. 8.110
кв 2т0кв \ V J 2т0кв
Отсюда следует, что температура Ферми, или температура вырождения
электронного газа, зависит только от концентрации элек-
тронов в твердом теле.
На рис. 8.10 показана зависимость функции распределения Ферми-Дирака и
плотность электронных состояний для проводящего твердого тела при Т = 0.
Рассмотрим случай низких температур, когда выполняется неравенство
T<TF = ^. (8.111)
/Св
Если энергия электрона мала: е < eF, но \е - eF| ^ квТ, то из (8.103)
следует f(e) -> 1. Если энергия электрона е < eF, но при
ЭТОМ ? |? I ~
квТ, благодаря чему имеем:
0 < ехр (т"?) ~е_1 < \ < L
208
Гл. 8. Электроны в металлах
В случае, когда е > ?Р, но при этом ? й eF, так что по-прежнему
выполняется \е - eF| к, квТ, имеем:
° < 0ХР (~к^) ~ е1 > 0 < Яе) < \'
Наконец, при больших значениях энергии электронов \е - ДР| ^> квТ из
(8.104) получим: f(e) -> 0. Все кривые распределения Ферми-Дирака,
полученные при конечных не слишком высоких температурах, пересекаются в
точке е = eF, при этом f(eF) = 1/2.
Рис. 8.11. Функция распределения Ферми-Дирака и плотность электронных
состояний проводящего твердого тела при низких температурах
Результаты данного анализа показаны на рис. 8.11, из которого следует,
что при конечных температурах появились разрешенные электронные состояния
с энергиями, большими энергии Ферми (они могут быть заняты с
вероятностью, отличной от нуля, и тем более высокой, чем выше
температура).
Поскольку в знаменателе соотношения (8.110) для температуры Ферми
фигурирует достаточно малая величина - масса электрона, - то для
концентраций электронов, типичных для металла (1028м-3), температура
вырождения будет иметь порядок 104К (в табл. 8.3 приводятся результаты,
характерные для металлов и полупроводников) .
Таблица 8.3. Температура вырождения электронного газа в зависимости от
концентрации свободных электронов в твердом теле
Металлы Сильно- легированный полупроводник Слабо-
легированный полупроводник Ионосфера
п, см 3 1022 1018 1014 Ю10
TF, к ер, эВ 1,96 • 104 1,7 42 ОД 1,96 • 1СГ4
Следовательно, при всех температурах существования конденсированного
состояния металла электронный газ в нем
8.9. Теплоемкость газа свободных электронов
209
практически полностью вырожден, и его энергия не зависит от температуры.
Тем самым условие "малости" температуры
(8.111), которое также является и условием вырождения электронного газа,
будет выполняться в металле при всех температурах.
8.9. Теплоемкость газа свободных электронов
Классическая теория дает неверное значение для теплоемкости металла
(8.22), тогда как эксперимент показывает, что электронный вклад в
теплоемкость при комнатной температуре составляет не более 1% от
предсказанной классической теорией величины. Причина этого противоречия
связана с тем, что не каждый электрон, как это следовало бы из
классической модели, при нагревании кристалла получает энергию ~
(3/2)квТ. На самом деле такую энергию получают только электроны, имеющие
энергию е вблизи eF.
Рассчитаем электронный вклад в теплоемкость металла при низких
температурах. Полная энергия и полное число электронов в газе свободных
электронов может быть рассчитано так:
где плотность электронных состояний D{e) определена в (8.101). Интегралы
в (8.112) и (8.113) не вычисляются непосредственно, однако их можно найти
с хорошей точностью, если учесть, что величина квТ мала по сравнению с
энергией Ферми. Действительно, рассмотрим интеграл общего вида
где некоторая функция д(е = -оо) = 0 и может стремиться к бесконечности
как степенная функция при е -> оо. Интегрируя
(8.114) по частям, имеем:
ОО
(8.112)
- ОО
ОО
(8.113)
- ОО
ОО
(8.114)
- ОО
оо
I={f(s)G(s)) |~то - J °MG(e)de, (8.115)
- ОО
210
Гл. 8. Электроны в металлах
где
?
G(e) = J g(e')de'. (8.116)
- ОО
Первый член в (8.115) обращается в нуль, так как из (8.116) следует, что
G( - оо) = 0, а /(оо) -> 0. Чтобы вычислить второй член в (8.115),
разложим функцию G(e) в окрестности значения д = eF при Т = 0К (д -
химический потенциал, или уровень Ферми):
G(e) = G(g) + (--) {е - д) + - (-^-) {е - д)2 + ...
(8.117)
Подставляя (8.117) в (8.115), получим:
1 = <3(/') / {~Ш1,6 + (Ш,=" /(<г ",,) (~%) * + • • •
- оо -оо
(8.118)
~^)de = 1, (8.119)
