Основы физики твердого тела. - Зиненко В.И.
Скачать (прямая ссылка):
является построение Эвальда (рис. 2.7).
Точки в правой части рис. 2.7 - это узлы обратной решетки кристалла.
Направление вектора к совпадает с направлением падающего на кристалл
рентгеновского луча (пучка нейтронов). Вектор к заканчивается на
произвольном узле обратной решетки. На рис. 2.7 показана сфера радиуса к
= 27г/А с центром в начале вектора к. Дифрагированный луч образуется,
если эта сфера пересекает какой-либо другой узел обратной решетки и Дк =
Ghkl-
2.5. Амплитуда рассеянной (дифрагированной) волны
51
Ясно, что эти два узла связаны между собой вектором обратной решетки.
Дифрагированный луч будет, согласно (2.19), распро-
страняться в направлении вектора к'. Построение Эвальда широко
используется в рентгеноструктурном анализе и в нейтронов-ских
дифракционных исследованиях.
Из определений векторов обратной решетки (1.34) следуют соотношения:
(аь bi) = (а2, Ь2) = (а3, Ь3) = 2ж, , ,
(ai, Ь2) = (аь b3) = (а2, b3) = (а3, bi) = (а3, Ь2) = 0. ' >
Поскольку волновой вектор при дифракции на семействе параллельных
плоскостей (hkl) изменяется на величину Дк = Ghkh тс5 пользуясь (2.21),
получим:
(aj, Дк) = 2лh, (а2, Дк) = 2лк, (а3, Дк) = 2л1. (2.22)
Соотношения (2.22), связывающие между собой вектор Дк, тройку индексов
hkl и базисные векторы прямой решетки, называются уравнениями дифракции
Лауэ.
2.5. Амплитуда рассеянной (дифрагированной) волны рентгеновского
излучения. Законы погасания
Чтобы определить интенсивность излучения, дифрагированного
пространственным распределением электронов внутри каждой элементарной
ячейки, следует найти направления распространения и амплитуды волн,
выходящих из кристалла, относительно заданного направления
распространения и амплитуды падающей волны. Пусть имеется два
рассеивающих центра О ж О' (рис. 2.8), и положение точки рассеяния (узла
решетки) задается вектором с целочисленными компонентами:
Гтпр = max + na2 + ра3, (2.23)
52
Гл. 2. Методы исследования кристаллической структуры
где то, п, р - целые числа в пределах от 0 до М. В этом случае кристалл
содержит М3 ячеек. Выберем начало координат (г = 0)
(Ш)
на одном из центров рассеяния. Падая на них, начальная плоская волна
возбуждает эти центры, и каждый становится источником вторичной
сферической волны. Начальная волна приходит в оба центра с различной
фазой, поэтому различную начальную фазу будут иметь и рассеянные волны.
Найдем разность фаз между волнами, рассеянными из центров О и О':
/\.ср - k гmnp krmnp - (к k)rmnp - Grтпр. (2.24)
Тогда, если начальная волна имела единичную амплитуду (А = 1), то
рассеивающий центр в положении О' даст волну:
/ ехР (*
(к' - к)
^тпр
) = f exp(iGrmnp). (2.25)
Коэффициент / называется рассеивающей способностью центра. Если объект,
на который падает начальная волна, состоит из расположенных в точках гтпр
рассеивающих центров с рассеивающей способностью fmnp, то амплитуда
результирующей волны будет иметь вид:
F = Е fmnp
exp {iGrmnp). (2.26)
mnp
Величина F носит название амплитуды рассеяния данного объекта. Формула
(2.26) имеет универсальный характер. Для рентгеновских лучей физическими
точками, рассеивающими их, являются электроны. Если принять рассеивающую
способность одного электрона равной единице, то относительная амплитуда
рассеяния, выраженная в этих "электронных" единицах, имеет более
2.5. Амплитуда рассеянной (дифрагированной) волны
53
простой вид:
F = Е exp (гGrmnp) = Е exp (iAk(maj + па2 + раз)). (2.27)
mnp mnp
Если Ак удовлетворяет уравнениям дифракции Лауэ (2.22), то, подставляя
(2.22) в (2.27), получим:
F = ехр (27ri(mh + hk + pi)), (2.28)
mnp
где сумма (mh + nk + pl) принимает только целые значения. Наиболее
типичным случаем рассеяния является рассеяние на электронах,
распределенных с определенной средней во времени плотностью в
пространстве кристалла. Определим электронную плотность р(г) с помощью
соотношения:
ne(г) = J р(г) dv, (2.29)
V
где пе(г) - среднее число электронов в элементе объема AV в окрестности
точки г.
Отметим, что одна из основных характеристик объекта (в данном случае
электрона) в квантовой механике - волновая функция ф(г) - связана с
электронной плотностью соотношением
р(т) = |^(г)|2. (2.30)
Рассматривая рассеяние на непрерывной функции - электронной плотности,
для отыскания амплитуды рассеяния F необходимо от суммирования по
дискретным точкам (2.27) перейти к интегрированию:
F(Дк) = J р(г) ехр(ггДк)сГЕ =
//,(.,"<)" р(,(2.31,
X у Z
где х, у, z - координаты точки (в прямом пространстве), кх, ку, kz -
координаты вектора рассеяния к (в обратном пространстве).
Распределение электронной плотности р(г) в объекте определяется
распределением pj(г) электронов в атомах и взаимным расположением атомов
в элементарной ячейке. Пики функции р(г) соответствуют центрам атомов,
малые значения - распределению
54
Гл. 2. Методы исследования кристаллической структуры
внешних электронов, участвующих в химической свнзи между атомами.
Допустим, что каждан нчейка состоит из s атомов, и положение центра j-го
