Основы физики твердого тела. - Зиненко В.И.
Скачать (прямая ссылка):
атома определнетсн вектором
Tj = XjS4 + yj а2 + Zj а3, (2.32)
который проведен из узла решетки [[mnp]]: rmnp = ma.\ + па.2 + + раз
(рис. 2.9). Этот узел жестко свнзан с рассматриваемой
нчейкой, которую обозначим символом mnp. Начало координат выберем в узле
гооо = 0. Относительно этого начала координат положение j-го атома в
нчейке mnp определнетсн вектором г j ~Г хтпр. Как известно, электроны в
атоме не концентри-руютсн вблизи ндра, а располагаютсн в его окрестности.
Так, функции
Pj = pj(г - Tj - rmnp) (2.33)
определнет концентрацию электронов в точке г вблизи j-ro атома в нчейке
тпр. Распределение электронной плотности р(г) кристалла можно описать как
суперпозицию электронных плотностей (2.33) отдельных атомов. Полную
электронную плотность кристалла записывают в виде суммы:
S
р(г) = ЕЕ рг{г - Tj - rmnp), (2.34)
mnp j = 1
где первое суммирование проводит по всем атомам базиса (j = 1, ..., s), а
второе - по всем узлам решетки, число которых равно М3. В представлении
(2.34) пренебрегают тонкими эффектами перераспределении pj(г) во внешних
валентных оболочках атомов при образовании химической свнзи. Функции
электронной плотности р(г) всюду положительна (неотрицательна).
В соответствии с (2.31) общую амплитуду рассеннин в кристалле дли вектора
рассеннин Дк можно записать так:
F(Дк) = J р(г) ехр (ггДк) dV =
v
= ^2^2 / Рз(г - гз - гшпр) ехр (г(г, Дк)) dV. (2.35)
mnp j у
а3
Рис. 2.9. Положение j-ro атома в ячейке тпр
2.5. Амплитуда рассеянной (дифрагированной) волны
55
Преобразуем интеграл в (2.35) следующим образом:
j Pj(r - r3 - rmnp) exp (г(г, Ak)) dV =
v
= J Pj(r') exp Ak)) exp + rmnp), Ak)) dV =
v
= fj exp (i(rj + rmnp) Ak), (2.36)
где сделана подстановка г' = г - г j - rmnp и введена величина
fj = J Pj(r') exp (г(г', Ak)) dV (2.37)
v
- атомный фактор рассеяния, т.е. fj - мера рассеивающей способности j-rо
атома.
Соотношение (2.35) с учетом (2.36) можно сейчас записать в виде
F( Ak) = '^2'^2fj exp (i( r3 + rmnp) Ak) =
mnp j
^тпрч Лк|) ? fj exp (*(rjj Ak)) J . (2.38)
\mnp / \ j J
Сумма
У^ехр (i(
^mnp ч
Ak)) = exp (г (mai + na2 + раз), Ak) =
mnp
exp (2дi(mh + nk + pi)) = M3, (2.39)
mnp mnp
mnp
поскольку вектор рассеяния Ak должен удовлетворять условиям Лауэ (2.22).
Тогда существенным членом в (2.38) будет второй член в круглых скобках -
структурный фактор базиса:
Ф (Сх hkl) = Е fjex.p{i(rj,Ghki)), (2.40)
j
где учтено, что Ak = Ghkl- Принимая во внимание, что вектор обратной
решетки Ghkl определен соотношением (2.17), а радиус-вектор атомов базиса
rj - соотношением (2.32), структурный фактор базиса для некоторого набора
параллельных плоскостей (hkl)
56
Гл. 2. Методы исследования кристаллической структуры
будет иметь вид
ф[hkl) = fj ехр (27vi(xjh + yjk + Zjl)). (2-41)
i
Структурный фактор может быть комплексным числом. Важны нулевые значения
Ф(hkl). Отсутствие отражения для определенных значений индексов /г, /г, I
называется законом погасания. В этих случаях интенсивность отражения,
разрешенного пространственной решеткой, равна нулю. Структурный фактор
базиса может уничтожать некоторые отражения, разрешенные пространственной
решеткой, и эти недостающие отражения помогают в определении структуры.
Найдем, например, Ф(hkl) для ОЦК решетки. Базис ОЦК решетки состоит из
двух одинаковых атомов с координатами [[ООО]] и [[Щ]], т.е. для одного из
атомов х\ = у\ = z\ = 0, а для другого Х2 = т/2 = = 1/2. Тогда
(2.41) принимает вид
ф(hkl) = /{1 + ехр (дi(h + к + /))}, (2.42)
где / - рассеивающая способность отдельного атома. Величина Ф[hkl) равна
нулю в тех случаях, когда значение экспоненты равно - 1, т.е. если ее
показатель - нечетное число, умноженное на in. В итоге получаем:
ф(hkl) = 0, если h + к + I = нечетное целое число; ф(hkl) = 2/, если h +
к + I = четное целое число.
В дифракционной картине металлического натрия, имеющего ОЦК решетку,
отсутствуют отражения, обусловленные плоскостями (100), (300), (ill),
(122), ..., однако отражения, связанные с плоскостями (200), (НО), (222),
..., будут существовать.
Каков физический смысл отсутствия в дифракционной картине ОЦК решетки,
например, рефлекса (100)? Этот рефлекс появляется тогда, когда лучи,
отраженные от плоскостей, ограничиваю-
Рис. 2.10. Схема отсутствия отражения (100) для ОЦК решетки
щих элементарную кубическую ячейку (плоскости 1 и 3 на рис. 2.10),
складываются в фазе 2ж. В ОЦК решетке имеется дополнительная
промежуточная атомная плоскость, обозначенная
2.5. Амплитуда рассеянной (дифрагированной) волны
57
цифрой 2 на рис. 2.10, которая обладает такой же рассеивающей
способностью, что и плоскости 1 и 3. Но, так как эта плоскость
расположена посредине между ними и сдвинута относительно них, отраженный
от нее луч сдвинут по фазе относительно рефлекса от первой плоскости,
вследствие чего отражения 1 и 2 взаимно погашаются.
Для других типов решеток Бравэ существуют иные законы погасания.
Задачи
2.1. Для кубического кристалла показать, что из условий Лауэ следует
