Основы физики твердого тела. - Зиненко В.И.
Скачать (прямая ссылка):
составляют их малую часть.
Рис. 1.15. Элементарная ячейка ГПУ структуры
1.8. Прямая и обратная решетки
37
1.8. Прямая и обратная решетки
Дискретность кристаллических структур, их трансляционная инвариантность
приводит к отличию протекания волновых процессов в кристаллах от
аналогичных в сплошной среде. Волновой вектор уже не может, как в
сплошной среде, принимать произвольные значения.
Поэтому оказалось необходимым ввести представление об обратной решетке.
Обратная решетка дает трехмерное представление о пространстве волновых
векторов. Отметим здесь, что определение базисных векторов обратной
решетки (1.25), введенное при определении индексов Миллера, оказалось
неудобным с точки зрения физики твердого тела по многим причинам и
реально применяется только в кристаллографии. Поэтому определим сейчас
векторы элементарных трансляций обратной решетки следующим образом:
а,Ь, = 27Г, если i Ф j:
\ (1.34)
a^bj = 0, если г = j,
где зц - векторы элементарных трансляций прямой решетки; bj - векторы
элементарных трансляций обратной решетки; i, j принимают значения 1, 2 и
3.
Условия (1.34) эквивалентны представлению векторов элементарных
трансляций обратной решетки bj в виде:
а2 X а3
Ъ\ - Z7T-
а1 •(а2 X а3)
а3 X ai
а1 •(а2 X а3)
ai X а2
а1 •(а2 X а3)
Л,л. (1-35)
Ь3 = 27Г-
Тогда обратная решетка - это множество точек, образованных трансляциями
на произвольный вектор обратной решетки:
G = raibi + га2Ь2 + га3Ь3, (1.36)
где щ - целые числа. Векторы bj/27r являются базисом обратной решетки.
Обратная решетка - геометрический объект, инвариантный относительно
преобразований симметрии прямой решетки.
Нам необходимо знать форму ячеек Бравэ и ячеек Вигнера-Зейтца в обратном
пространстве. Для простой кубической решетки такие ячейки совпадают и, в
соответствии с (1.36), имеют форму примитивной кубической ячейки со
стороной 2тг/а.
38
Гл. 1. Структура и симметрия кристаллов
Несколько более сложное построение для ГЦК и ОЦК структур приводит к
тому, что обратной решеткой для ГЦК является ОЦК
У
/
Рис. 1.16. Ячейки Вигнера-Зейтца в обратном пространстве для: а) простой
кубической, б) ГЦК, в) ОЦК решеток
решетка, а для обратной к ОЦК - ГЦК решетка. Ячейки Вигнера-Зейтца в
обратном пространстве для этих структур также "меняются местами" по
сравнению с прямым пространством (рис. 1.16, ср. с рис. 1.13).
Полезно знать свойства обратной решетки:
1. Каждый вектор обратной решетки перпендикулярен некоторому множеству
плоскостей прямой решетки.
2. Если компоненты вектора обратной решетки G не имеют общего множителя,
то абсолютная величина |G| обратно пропорциональна расстоянию между
плоскостями прямой решетки, перпендикулярными вектору G.
3. Плоскости прямой решетки можно охарактеризовать нормалями - векторами
обратной решетки, координаты которых будут соответствовать индексам
Миллера, определяющим символ плоскости.
4. Объем элементарной ячейки обратной решетки обратно пропорционален
объему элементарной ячейки прямой решетки.
5. Прямая решетка является обратной по отношению к своей обратной
решетке.
Задачи
1.1. Определить все элементы симметрии, порожденные: а) двумя плоскостями
симметрии; б) плоскостью симметрии и перпендикулярной ей осью симметрии;
в) осью симметрии порядка п и проходящей вдоль нее плоскостью; г) осью
симметрии порядка п и перпендикулярной ей осью второго порядка; д) двумя
пересекающимися осями симметрии; е) четной инверсионной осью и
плоскостью, проходящей вдоль нее.
1.2. Найти все элементы симметрии точечной группы m3m.
1.3. Доказать, что ГПУ решетка не может содержать один атом на одну точку
решетки.
1.4. Определить тип решетки Бравэ, узлы которой образованы декартовыми
координатами п\, П2, "з в случае: а) гц либо все четные, либо все
нечетные; б) сумма гц обязательно четная.
1.8. Прямая и обратная решетки
39
1.5. Определить сингонию кристаллов точечной симметрии 23, 32 и гага2,
подвергнутых действию одноосного механического напряжения вдоль
кристаллографических осей.
1.6. Найти угол между нормалью к плоскости (031) и направлением [010] в
тетрагональном кристалле с параметрами элементарной ячейки a = 10 А, с =
9 А.
1.7. Для определения гексагональных кристаллов более удобна четырехосная
система Миллера-Бравэ. Доказать, что в системе индексов hkil Миллера-
Бравэ h + k + i = 0.
1.8. Определить пространственное расположение осей второго порядка в
группах Р222, Р2221, Р2\2\2, Р2\2\2\.
1.9. Доказать, что для векторов трансляций прямой R и обратной G решеток
выполняется: R • G = 2тг х к, где к - целое число.
1.10. Доказать свойства обратной решетки, приведенные в § 1.8.
1.11. Используя свойства обратной решетки 1 и 2, построить решетки,
обратные ОЦК и ГЦК решеткам.
1.12. Построить обратную решетку и найти размеры и форму ячейки Вигнера-
Зейтца для ромбической решетки с векторами примитивных трансляций a =
2i,b=j,c = 4k.
Глава 2
МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ СТРУКТУРЫ
