Элементы общей теории относительности - Зельманов А.Л.
ISBN 5-02-014064-3
Скачать (прямая ссылка):
Д. p...Vn. p...а = V...VP ...а
Л<*...0 ^e...? иa...?e...$ и положим в нем p = oc9 т.е. произведем свертывание но этим двум индексам, причем один из них является нижним индексом одного тензора, а второй - верхним индексом другого тензора. При этом ранг полученного тензора уменьшится на два.
Внутренним произведением тензоров называется их тензорное произведение с последующим свертыванием.
20 Можно рассматривать двукратное внутреннее произведение тензоров, когда производится двойное свертывание, а также внутреннее произведение более высокой кратности.
В качестве примера рассмотрим случай векторов V01 и W?. Тогда VoiW0 есть тензорное произведение этих векторов, a VaWot — внутреннее произведение, которое является инвариантом. В случае трех измерений внутреннее произведение векторов есть ViWi = ViW1 + V2W2 + V3 W39 и оно представляет собой скалярное произведение этих векторов. Таким образом, можно сказать, что внутреннее произведение тензоров есть обобщение скалярного произведения векторов.
Теорема. Двукратное внутреннее произведение симметричного тензора на антисимметричный тензор тождественно равно нулю.
Доказательство. Пусть даны совокупности величин Sa? и Aijlv (не обязательно тензоры), которые соответственно симметричны и антисимметричны относительно своих индексов: Sa? = S ?a, Ajlv = -Avjl. Тогда двукратное внутреннее произведение Sa?Aa?, после переобозначения "немых" индексов и учета свойств симметрии и антисимметрии относительно индексов, можно представить в виде
Aa?Sa?=A?aS?a = -Aa?S?a = -AtfSafi.
Из полученного равенства Aa?Sa? = -Aa?Sa? следует, что Aa?Sa? = 0. Теорема доказана.
7. Теорема частного (строгая теорема частного). Пусть А (а, ?) - совокупность величин, зависящих от двух индексов, причем не известно, составляют они тензор или нет. Если внутреннее произведение A (af ?)B?e при любом тензоре Bye является тензором F (а, е), то A(a,?) также есть тензор. При этом если V(а, е) = Va6, то А (а, ?) = Aa?\ если
Г(а,е)= Vae9 то А (а, ?) = Aaa.
' t
Доказательство. Пусть дана система координат S . Ilo условию теоремы в этой системе координат имеет место равенство
A(n',v')Bv'a' = V-
а
M'
Перейдем от системы координат St в систему координат S. Тогда имеем
ЛМВ". у;.'- - V--. ЛЪПВ» дХ"
= А (а, ?)Bs t'
Эх" Эхе Эх"' Эх?
Эх" Эхе Эх<* Эх"
Эх?' Эхт Эх"' Эх? dx°' Эх" Эх<*
dxT' Эх?' Эх"'
, , Эх" Эх" , Эх" Эх01 = А(аЛ)В*т8°.—- -- = A(a,?)Bto
= A(a,?)Bv
Эх" Эх1
Эх?' Эх"' Эх?' Эх"'
Эх" Эх"
21 Таким образом, имеем
A(?\p')-A(a9?)
Ъха Ъх?
Bb
= 0.
Ъх* Ъхv
Здесь п2 равенств, так как значащие индексы пробегают независимо п
значений. Поскольку В
произвольный тензор, то выражение в каж-
дой из этих скобок равно нулю, т.е. при любых ix ир имеет место равенство
Эх" Ъх? A(fi\p') = A(a,?) — — -Эх" Эх
Но это есть формула преобразования ковариантного тензора второго ранга, следовательно, А (а, ?) есть тензор Аар. Теорема доказана.
ГЛАВА 2 ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЙ ТЕНЗОР
§ 2.1. Ковариантный фундаментальный тензор
Если каждой паре бесконечно близких точек соответствует некоторый инвариант ds2, не зависящий от порядка, в котором берутся эти точки, то говорят, что в данном пространстве определена метрика. В случае рима-нового (псевдориманового) пространства инвариант^2 определяется формулой ds2 = g?vdx?dxv 9 где - вообще говоря, функции всех координат: g?v = g?V (х°, je1,..., xm), причем (Ietgllv Ф 0. Будем предполагать, что g^v непрерывны вместе со своими частными производными до порядка N> 2.
Возникает вопрос — обладают ли величины g?v свойством симметрии, т.е. выполняются ли равенства =gufl?
Предположим, что g?v Ф gvjl. Тогда gможно представить в виде Zpv = apv + sIiv» где - антисимметричная часть gyLV9 Silv - симметричная часть. Следовательно,
ds2 =a?Vdx»dxv +s?vdx»dxv.
Поскольку dx? есть контравариантный вектор, Todx^dxv есть тензорное произведение двух равных контравариантных векторов й представляет собой симметричный контравариантный тензор второго ранга. Тогда a?vdx?dxv как двойное внутреннее произведение антисимметричного тензора на симметричный тензор тождественно равно нулю.
Таким образом, g?vdx?dxv = silvdxildxv\ следовательно, только симметричная часть g?v влияет на расстояние, поэтому часто говорят, что сами величины g^v симметричны. Мы будем предполагать, что величины g^v симметричны: g?V ^gvjl.
Составляют ли величины g?V тензор? Мы предполагаем, что ds2 = = g?vdx?dxv представляет собой инвариант. Следовательно, внутреннее
22 произведение g?vd:см на произвольный вектор dxv всегда будет инвариантом, т.е. тензором нулевого ранга. Тогда согласно теореме частного g^dx^ является тензором первого ранга: g?vdx^ = Vv. Поскольку dx^ -произвольный вектор, a Vv — вектор, то по теореме частного имеем, что g?V есть ковариантный тензор второго ранга. Тензор gназывается фундаментальным (или метрическим) ковариантным тензором.
§ 2.2. Контравариантный фундаментальный тензор
Пусть Aci — некоторый контравариантный вектор, тогда внутреннее произведение gfiaAa согласно теореме частного есть некоторый ковариантный вектор: g^oiA* = B?.
