Элементы общей теории относительности - Зельманов А.Л.
ISBN 5-02-014064-3
Скачать (прямая ссылка):
Если все составляющие одного тензора в данной системе координат равны одноименным составляющим другого тензора в этой же системе
18 координат, то эти два тензора называются равными. Из формул преобразования тензоров следует, что если тензоры равны в одной системе координат, то они равны и в другой системе координат.
2. Свертывание тензоров. Рассмотрим смешанный тензор второго ранга Q'?. Он имеет п2 составляющих, так как ос и ? пробегают независимо п значений. Из этих п2 составляющих выберем п составляющих, для которых верхний индекс ? равен нижнему индексу ос. Из этих составляющих
п-1
составим сумму Qa = 2 Q'a . Такая операция называется свертыванием
а=0
(иногда - сокращением, омоложением) по индексам а и ?.
В системе координат S возьмем смешанный тензор Q'J* и составим Q^01, В системе координат Sr этот тензор есть Qr? .Свертывая его по индексам м, V9 получим Qtfl? . Выразим Q'^,м через Q^a. Поскольку
я дха Эх"'
Q-? = Q- ?--,
* Эх"' Эх0 то для частного случая /и = v имеем
я Эха Эх"' я Эха
О' M - Q. ? - - - Q. ? - = Q. ?frOL = Q. ОС
Qa Эх"' Эх" Эх" ^ ' йв '
Итак, свертывая смешанный тензор второго ранга по верхнему и нижнему индексам, получили инвариант, который называется следом тензора
второго ранга Q4ql ?, причем ранг полученного следа на две единицы меньше ранга самого тензора. Свертывая смешанный тензор ранга г, получаем тензор ранга г - 2. Заметим, что операцию свертывания можно ввести не только для тензоров, но и для величин, зависящих от индексов, но не являющихся тензорами.
3. Симметричный и антисимметричный тензоры. Тензор Saj3 называется симметричным, если Sa? = S?a. Тензор Aa? называется антисимметричным (кососимметричным), если Aa? = —A?а- Свойство симметрии или антисимметрии тензора не зависит от системы координат. Действительно, если в одной системе координат имеют место равенства Sa? =S?a, Aa? = "A?а, то они справедливы и в любой другой системе координат.
Возьмем произвольный ковариантный (или контравариантный, но не смешанный) тензор второго ранга Qa?. Его можно представить в виде суммы симметричного и антисимметричного тензоров. Действительно,
Qa? = 1A (Qa? + Q?a) + YziQa? ~ Q?a) = Sa? + Aa?,
гдє Sa? = xA (Qa? +Q?a) , Aa? = 1A (Qa? ~ Q?a) • Легко Видеть, что Sa? и A a? представляют собой соответственно симметричный и антисимметричный тензоры.
4. Существенные составляющие тензора. Существенными составляющими тензора называются такие его составляющие, которые отличны от нуля и не связаны какими-либо алгебраическими зависимостями с другими составляющими.
Если число существенных составляющих меньше полного числа составляющих, то существенные составляющие можно выбрать произвольно. 2* 19 Подсчитаем число существенных составляющих симметричного и антисимметричного тензоров второго ранга. Пусть Sa? - симметричный тензор второго ранга. Он имеет всего п2 составляющих. Составляющих, у которых а = 0, всего п. Составляющих, у которых ос Ф ?, тогда будет п2 - п = п(п — 1), но среди них независимых только 1A п(п — 1), так как Sa? ~S?a- Таким образом, всего существенных составляющих симметричного тензора второго ранга Sa? будет п + 1A п(п - 1) = 1A п(п + 1).
Пусть A^ — антисимметричный тензор второго ранга. Он имеет всего п2 составляющих. Составляющих, у которых ос = ?, всего л, причем все эти составляющие равны нулю: Aaa = 0. Составляющих, у которых ос Ф ?, всего п2 - п = л(л - 1), но среди них независимых только *Ап(п — 1), так как существует зависимость Aa? = —A?a. Таким образом, антисимметричный тензор Aa? имеет всего 1A л (л — 1) существенных составляющих.
Выше тензор Qa? МЫ представили В виде Qa? = sa? + Aa? . Существенных составляющих (и просто составляющих) левой части (т.е. тензора Qa?) всего п2, составляющих правой части — 2 л2, так как каждый из тензоров Sa? и Aa? имеет п2 составляющих. Однако число существенных составляющих суммы тензоров Sa? + Aa? равно числу существенных составляющих тензора Qa?. Действительно,
lAn(n + 1 ) + lAn(n - 1 ) = л2.
5. Тензорное произведение тензоров. Возьмем произвольные тензоры A'a"'? и Составим произведение их составляющих:
л .?...VR.p...O _ r .H...VP...O
а. ..? є...? '
Совокупность таких произведений дает составляющие тензора С. Если ранг тензора А равен rx = + , а ранг тензора В равен r2 = а2 + b2i где я,, bj - кратность соответственно ковариантности и контравариант-ности тензоров А и В, то ранг тензора С равен г = гх + г2 = (я і + а2) + + (pi + b2). Полученный таким образом тензор С называется тензорным (иногда, прямым или внешним) произведением двух тензоров А и В, а сама операция — тензорным умножением.
В качестве примера рассмотрим тензорное произведение двух ковариантных (контравариантных) тензоров первого ранга (векторов): Va W?. Антисимметричная часть произведения VaW? имеет вид 1A (VaW? — V?Wa). В случае трех измерений антисимметричная часть тензорного произведения двух векторов представляет собой их векторное произведение.
6. Внутреннее произведение векторов. Возьмем тензорное произведение
