Элементы общей теории относительности - Зельманов А.Л.
ISBN 5-02-014064-3
Скачать (прямая ссылка):
Примером контравариантного вектора может служить отрезок, соединяющий две бесконечно близкие точки Р(ха) и Pi^a + dx01). В одной системе координат этот отрезок есть dxa, а в другой системе координат он будет равен dx? :
dx? = -dxa.
Эх*
Совокупность п величин (в и-мерном пространстве), которые при преобразовании координат преобразуются но закону
Эх*
V?=V«-—> (1-2) bx?
называется ковариантным тензором первого ранга или ковариантным вектором.
Примером ковариантного вектора может служить градиент скалярной функции (инварианта). Действительно, пусть кр - инвариант. Возьмем в
Э ^p д<р Ъ^р
системе координат S величины —- > —г > • • • » -» т.е. величины
Эх0 Эх1 Эх"""1
Э Ф
——> где а = 0, 1,..., л - 1. Совокупность этих величин образует гради-Эх
ент скалярной функции \р. В системе координат St эти величины приобре-Ъу Ъкр
тают вид -г > -г' • * *' -• Легко видеть, что
Эх0 Эх1 Эх(и-1}
V _ Ъу Эха
16 но ф — инвариант, значит, у = поэтому Ъф Ъха
Ъх* Ъх° Эх"'
Совокупность п2 величин (в л-мерном пространстве), которые при преобразовании координат преобразуются по закону
Эх* дх0
Q?p = Qa? —Г —г • С1-з>
Эхм Эх"
называется ковариантным тензором второго ранга.
Примером ковариантного тензора второго ранга может служить произведение ковариантных векторов: Qaj3 = VocW09 Qt^v = VtWtv, Однако не всякий ковариантный тензор второго ранга можно представить в виде произведения двух ковариантных векторов.
Совокупность п2 величин (в «-мерном пространстве), которые при преобразовании координат преобразуются по закону
Q?» = Q*?----(L4)
Ъха дх0
называется контравариантным тензором второго ранга.
Примером контравариантиого тензора второго ранга может служить произведение двух контравариантных векторов: Qol0 = V01W^9 Q?V = = V? Wv . Однако не всякий контравариантный тензор второго ранга можно представить в виде произведения двух контравариантных векторов.
Совокупность п2 величин (в и-мерном пространстве), которые при преобразовании координат преобразуются по закону
я Эха Ъхр
Q-; =Q-J- —. (1.5)
М Эхм ^x0
называется смешанным тензором второго ранга.
Примером смешанного тензора второго ранга является произведение ковариантного и контравариантиого векторов: Q'0 = VoiW0. Однако не всякий смешанный тензор второго ранга можно представить в виде произведения ковариантного и контравариантиого векторов. Точка в Q'0 указывает на то, что индекс ? находится на втором месте, так как, вообще говоря, Q'0 Ф Q0a.
Совокупность пг величин (в «-мерном пространстве), которые при преобразовании координат преобразуются по закону
, , Эх* Эхр Ъх0 Ъх°'
Q-P--O = Q.*- --...----Z1 6ч
составляют, по определению, смешанный тензор ранга г9 где г = а + Ь, а - число нижних индексов, Ъ - число верхних индексов. Заметим, что при а - О смешанный тензор становится контравариантным тензором, а при Ъ = О — ковариантным тензором.
Легко видеть, что тензоры мы определили независимо от метрики. Они могут быть введены и в неметрических пространствах. 2. А.Л. Зельманов ^ Введем символ Кронекера Sfja: (0,
Покажем, что совокупность символов Кронекера образует тензор. В системе координат S введем смешанный тензор второго ранга Q%? и пусть в этой системе координат его составляющие совпадают с составляющими символа Кронекера: Q%? = Переходя в систему координат S19 имеем
я Эх* Эх"' л Эх* Эх"' Эх* Эх"' Эх"'
n-v =Q-?--= O? - - =--= - .
M' * Эх"' dx? ° Эх"' dx? Эх" Эх* Эх"' Однако xv и Xм - координаты одной и той же системы, следовательно, они независимы, поэтому Эх"/Эх" Значит, Q^Y = 6
Таким образом, если в системе координат S составляющие смешанного тензора являются составляющими символа Кронекера, то и в другой системе координат Sf они являются составляющими символа Кронекера. Значит, символ Кронекера представляет собой смешанный тензор второго ранга.
§ 1.3. Алгебра тензоров
1. Сумма тензоров. Равенство тензоров. Сумма двух инвариантов (т.е. тензоров нулевого ранга) является инвариантом.
Действительно, если у, ф — инварианты, то у = ф =ф \ следовательно, у + ф = \р + ф'.
Сумма двух ковариантных (контравариантных) векторов есть кова-риантный (контравариантный) вектор.
Действительно, пусть V0l9Wa- ковариантные векторы, тогда
Эх* , Эх*
Vti = V01-; , Wll = Wa -г •
М Эх" Эх"
Следовательно,
Эх* Эх* Эх*
Vn + W11 = Va-г + Wa -г = (Va + Wa)-; ,
Эх" Эх" Эх"
т.е. сумма векторов Va + Wa преобразуется как ковариантный вектор.
Аналогичное утверждение справедливо и для тензоров любого ранга, только нужно иметь в виду, что у складываемых тензоров на одних и тех же местах должны стоять одинаковые символы.
Из (1.6) видно, что преобразования тензоров однородны и линейны по отношению к самим тензорам. Если составляющие некоторого тензора в- данной точке равны нулю, то говорят, что в этой точке тензор равен нулю. Пусть в данной точке в данной системе координат все составляющие тензора равны нулю. Тогда в силу однородности и линейности преобразований все составляющие тензора в данной точке, но в другой системе координат также равны нулю.
