Взаимодействие волн в неоднородных средах - Засланский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
На рис. 2 изображены сплошные линии, на которых фаза решения S =
f/J'2z3'2 чисто действительная, и штриховые, на которых фаза чисто
мнимая. Разрез выбран по линии 1. Линии 1-4 называются линиями уровня. На
этих линиях оба решения ij)+, 1|ь осциллирующие и одного порядка
величины. На штриховых линиях одно из решений (например, гр_)
экспоненциально растет с ростом UI, a ij)+ экспоненциально затухает. Если
В Ф О, то на штриховой линии в рассмат- •
риваемом примере член с гр+ в (7.5) не следует писать, так как это
означало-бы превышение точности метода. Но тогда на любой другой линии
уровня мы, вообще говоря, не знаем, чему равен коэффициент при 1р+.
Описанная ситуация хорошо известна как явление Стокса (см.,, например,
[5-8J).
Теперь мы можем сформулировать стоящут"
Рис. 2. Линия уровня в окре- пеРеД нами задачу: опре-стности точки
поворота. делить коэффициенты Л,
24
Bi на i-ж линии уровня, если они заданы на какой-либо одной из линий
уровня. Изящный метод решения был предложен Цваном [5] и эффективно
использован в дальнейшем в работах [6, 7].
Пусть на линии 1 (см. рис. 2) задано решение (7.5) с коэффициентами Аи Ви
Будем совершать обход точки х0 в комплексной плоскости х настолько далеко
от хв, чтобы можно было пользоваться для i])+, г|)- выражениями (7.2). В
спектре (1, 2) г|)_ является экспоненциально растущей и поэтому на линии
2
B2 = Bi.
Коэффициент при г])+ в соответствии с изложенным неизвестен и можно
записать
Аг =А± + аВи
где ос - неизвестный множитель. В секторе (2, 3) экспоненциально растущим
является г|)+, и потому
а3 = а2, в3 = в2 + $а2,
где - неизвестно. Аналогично
Bk = В3, Ak = А3 + уВ3.
Здесь А 4, Z?4- коэффициенты при ф+, ф_, взятых на нижнем берегу разреза,
а у - неизвестно.
Теперь следует учесть, что истинное решение уравнения (7.1) является
аналитическим, и в результате полного обхода вокруг произвольной точки в
комплексной плоскости нужно вернуться к исходному выражению для решения.
Значит, решения на линиях 1 и 4 (на верхнем и нижнем берегах разреза)
должны тождественно совпадать. Заменяя в (7.4) z на ze2m, получим
.Z?4 = iAu At = iBi (7.6)
или, выражая Aif Bk через At, Ви
{L4i + (1 +<z$)Bl - iAu
(7.7)
(1 + yjJMi + [cc + y(l + ap)]54 = iBlt
Уравнения (7.7) должны выполняться при' произвольных Аи Blt Отсюда
находим четыре уравнения для оп-
25
ределения неизвестных множителей а, {5, у:
Р = i, 1 + сф = 0, 1 + = О,
а + ^(1 + ар) = i.
(7.8)
Первые три уравнения в (7.8) дают а = р = у = i.
(7.9)
Четвертое уравнение есть следствие первых трех. Полученные выражения
(7.9) решают вопрос о склейке решений при наличии одной точки поворота.
Интересным обстоятельством является следующее: для определения а, р, у не
требуется знать вид пред-экспоненциального множителя в решениях (7.4).
Действительно, пусть в результате полного обхода вместо
(7.6) следует
где q - неизвестный множитель, возникающий из пред-экспоненты. Тогда
вместо системы (7.8) имеем.
Отсюда а = р = у - q = i. Таким образом, для получения (7.9) достаточно
знать только первый член разложения фазы по степеням малого параметра.
Этот член k = ±l-U(x, Е)У/г определяемся из характеристического уравнения
(7.3), которое ничем не отличается от характеристического уравнения при
постоянных коэффициентах в (7.1).
Пусть U(x, Е\ имеет простые нули в двух точках. Физический интерес
представляют три случая, отличающиеся различным расположением кривой U(x)
относительно оси х (рис. 3).Как это принято в квантовой механике, случаи
а, б, в будем называть соответственно "ямой", "прохождением через барьер"
и
Bk = qAu Ak = qBu
(7.10)
P = q, 1 + ар = 0, 1 + 7p = 0, a + 4(1 + ap) == q.
(7.11)
§ 8. Две точки поворота. Прохождение через барьер
26
а
J 4 I
u(x,E)
Рис. 3. Потенциал и линии уровня в случае двух точек поворота. а - яма; б
- прохождение через барьер; в- надбарьерное отражение.
27
."надбарьерным" отражением. Мы начнем изучение решений при наличии двух
точек поворота с прохождения через барьер (см. рис. 3, б). На линии 1
запишем решение в виде
т|) = ^4!т|)++ (8.1)'
где а|5± = &-1/2 exp |± i J к {х) ctoj. (8.2)
Будем обходить точки поворота аи а2, по контуру, изображенному на
рисунке. Тогда на линии 2, так же как в предыдущем параграфе, можно
написать
Вг = Z?i, А2 = Ai + "i-Bi. (8.3)
При переходе с линии 2 на линию 3 мы не пересекаем
штриховых линий, т. е. в области перехода еГи одно из решений a|)+, -ф-
не является преимущественным по сравнению с другим. Поэтому на линии 3
запишем:
т|) = + Д'ф-, (8.4)
где г|э± = к~11г exp | ± i Г k(x)dx
I i
А, = eeUt+ aA), (8.5)
26 = i (j) к (х) dx > 0 (8.6)
2
(контур 9? обозначен на рис. 3, б). Появление множителей е±й в (8.5)
связано с изменением начала отсчета при написании г|)±. В секторе (3, 4)
т|)+ экспоненциально возрастает с ростом Ы, поэтому
А^ = А3 = е°(А! + at5i),
(8.7)
Bi - В3 + РИ3 = ee[§i Ai + (a^! + е~2!,)В^.
Дальше мы можем упростить задачу, заметив, что линии уровня 5, 6, 7
