Взаимодействие волн в неоднородных средах - Засланский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
неустойчивости [18]. Впервые такой процесс был изучен на при-' мере
взаимодействия волн со случайными фазами [19]. В последующих главах мы
обратимся к анализу влияния неоднородности на процессы нелинейного
взаимодействия как в равновесных, так и в неравновесных средах.
20
Г л а в а II ОДНОМЕРНЫЙ МЕТОД ВКБ
§ 6. Введение
При изучении уравнения типа уравнения Шредин-гера
d^Jdx2-U{x, ?)ф = 0, (6.1)
U(x, Е) = V(x) -Е (6.2)
различные физические условия задачи могут привести к тому, что
коэффициент U{x) будет меняться медленно на расстоянии характерного
изменения решения i|j:
d In ty/dx > d In U/dx. (6.3)
Аналогичная картина имеет доесто для ряда задач теории колебаний и теории
устойчивости сплошной среды. Ясно, что наличие неравенства (6.3)
позволяет явно ввести в уравнение (6.1) некоторый малый параметр м искать
решение в виде ряда по этому параметру. Полученные таким образом решения,
однако, существен-
Рис. 1. Потенциал в окрестности особой точки.
ио отличаются от решений, найденных в виде ряда теории возмущений. Для
того чтобы разобраться в этом, проведем некоторые качественные
преобразования уравнения (6.1). Пусть U(x) имеет^ вид,
изображенный на
рис. 1. Положим U(х) = k\U(х),?, = x/R, где U(x) ~
~ 1, за исключением области Д вблизи точки х0 (см. рис. 1), в которой
U(xо) = 0, a R - характерная длина изменения U(x): i/R ~ dlnU{x)/dx.
Тогда уравнение
(6.1) перепишется как
ed2^/^2 - С7<^)^ 0, (6.4)
где
е = 1/0с"Л)2"1. (6.5)
21
Неравенство (6.5) есть следствие (6.3). Из (6.4) видно, что в результате
медленного изменения коэффициента U(x) в уравнении (6.1) появляется малый
параметр ,е при старшей производной. Решение уравнения (6.4) можно искать
в виде
т|5 (?) = exp |ге~1/2 j к (I, Е) dgj, (6.6)
А; == А;(0) + е1/2А;<1> + еА:(2> или, что то же самое,
гр (?) = П (?) exp {7е~1/2 | ki0) (?, Е) dg} [1 + ... ],
(6.7)
где П(|) - предэкспоненциальный множитель, учитывающий к(1)(|), а в .
фигурных скобках стоит ряд по ?1/2. Непосредственно можно получить
kw = ±(-U( 1, Е)У'\ kw =dlnkm/dx. (6.8) В дальнейшем величину
S = е_1/21[- U(i,E)}xl*di (6.9)
будем называть фазой. Нетрудно видеть, что ряд в фигурных скобках в (6.7)
есть фактически разложение по iJS.
Формула (6.7) представляет собой решение уравнения (6.4) в виде
асимптотического ряда по параметру медленности ,si/2, главный член
которого определяется функциями кт и kw-. Это решение имеет особенности,
присущие вообще асимптотическим разложениям, в та время как истинное
решение может флть аналитической функцией °. Простейшей особенностью
является точка совпадения характеристических корней уравнения (6.4), т.
е. точка, в которой
' = *<0). (6.10)
Согласно (6.8), условие (6.10) выполняется в точке х0г где U(x0) = 02).
Нетрудно оценить величину области Д
Последнее мы будем все время в дальнейшем предполагать.
2* В квантовой механике х0 называется точкой поворота.
22
<см. рис. 1), в которой решение в форме (6.7) оказывается несправедливым.
Предположим для конкретности вблизи х0
С7(|)=?7"(|-Ы, go = xJR.
Учитывая, что неравенству (6.3) эквивалентно
5 >4, (6.11)
получим Д ~ isl/3R.
Изложенная схема построения решений уравнения
(6.1) известна как метод стационарной фазы, а в квантовой механике - как
ВКБ-приближение (см., например, [1]). Основная трудность переносится на
сшивку решений вблизи особой точки (например, при х < х" и л>хй). Ниже
будут рассмотрены различные случаи функции U(x), приводящие к
определенной структуре особенностей асимптотических решений типа (6.7).
Характерные физические примеры будут относиться либр к квантовой
механике, либо к теории колебаний и к вопросам, связанным с сохранением
адиабатических инвариантов 3>. Малый параметр е явно вводиться в
уравнение не будет. Подразумевается, что выполнено условие медленности
типа (6.3) и что всегда можно перейти от записи в форме (6.1) к записи в
форме (6.4).
*
§ 7. Одна точка поворота. Метод Цвана
Запишем два приближенных решения уравнения d2^/dx2~ U(x, Е)^ = 0 (7.1)
в виде
г|)+ = к~1/2 exp ji | к (х, Е) dx
г|)_ = к~т exp |- i | к {x, E) d
тде к удовлетворяет характеристическому уравнению
кЧх, Е) + U(x, Е) = 0, (7.3)
3> Различные вопросы, связанные с деталями метода ВКБ его приложениями,
можно найти также в монографиях
23
a г|э± есть главные члены асимптотических рядов (6.7). Преимущества
рассуждений, которые будут приведены ниже, основаны на том, что вместо
полных рядов (6.7) используются только главные члены разложений. Однако в
силу асимптотического характера последних это приводит к определенным
трудностям. Будем считать, что функция U{x, Е) аналитична в
рассматриваемой области комплексной плоскости х и имеет простой нуль в
точке хй. Разлагая Uix, Е) в ряд вблизи ха и ограничиваясь первым членом
U{x)~U0z, z = x - x0, получаем вместо (7.2)
= (?/"~1/4ехР (± iz3/2Uo2}' (7.4)
Общее решение уравнения (7.1) можно записать в виде •ф = -<4iJ>+ + (7.5)
где А, В - произвольные постоянные.
