Взаимодействие волн в неоднородных средах - Засланский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
неоднородной и неравновесной плазме, сводится к уравнению четвертого
порядка с комплексными коэффициентами (4.7), (4.8), (4.9).
Приведем другой пример плазменных колебаний, обусловленных сжимаемостью
среды. Вернемся к системе (4.2). Рассмотрим на ее основе взаимодействие
магнитозвуковых колебаний [7]. Магнитное поле будем считать постоянным
(H0I - const), а градиент плотности - направленным вдоль него р0 = р0Ы.
Кроме того, будем рассматривать двумерные возмущения (#', v', р', р'),
зависящие только от у, z, t. Первые два уравнения системы (4.2),
спроектированные на ось х, дают уравнения для волн Альфвена
Однако мы не будем на них останавливаться, а перейдем к обсуждению
магнитозвуковых волн, обусловленных сжимаемостью плазмы.
Учитывая, что неоднородность имеется только в z-m направлении, решения
системы (4.2) будем искать в виде v' = Viiz) ¦ exp i{kyy - (at), p' =
p,(z) exp i(kvy - at) и т. д. Комбинируя уравнения системы (4.2),
нетрудно получить два уравнения второго порядка относительно Pi и vlv
d2vlyldz2 + (а)2р0/ц#о - К) viу = (лс2кур11цН0. (4.11)
Из (4.11) видно, что связь между колебаниями плотности и скорости
существует, если параметр ку отличен от нуля. Система может быть заменена
следующим дифференциальным уравнением четвертого" порядка:'
dvjdt = \nHQ.dH'x/dzlp0, dH'x/dt = HQ-dv'x/d z.
(4.10)
d2pi/dz2 +(o2pi/с2 = kv(j)p0vly/c2,
- $ viy + 2
(4.12)
14
Полагая p0(z) медленно меняющейся функцией z и
Г V
пренебрегая р0 и р0 , можно записать уравнение (4.12) в виде
Считая в интересующем нас интервале ход плотности линейным (рo = az), где
а < 1, и вводя безразмерную переменную | = aaz - Ъ, уравнение (4.13)
можно записать в виде (вывод взят из работы [14])
vly - Р2 {I + Щ vly + Р4 [Ъ (Ь + I) - Щ vly = О,
(4.14)
где а = со2/ц.Яо, Ъ = со2/с2 - |3 = 1/аа 1, L2 =
= со1А-у/с2. Уравнение (4.14), как и уравнение Орра - Зоммерфельда, имеет
резонансную точку (коэффициент при второй производной обращается в нуль
при = -2Ъ)- Кроме того, коэффициент при последнем слагаемом в (4.14)
также может обращаться в нуль. В дальнейшем мы увидим, что эта
особенность имеет смысл точки поворота аналогично точке поворота в
уравнении Шредингера. '
§ 5. Электромагнитные волны в нелинейных кристаллах.
Уравнения для амплитуд
Если амплитуды распространяющихся в среде волн становятся значительными,
существенную роль играют эффекты, связанные с нелинейностью. В нелинейных
системах принцип суперпозиции не выполняется и наложение двух (или
большего числа) волн приводит к искажению каждой из них, т. е. происходит
нелинейное взаимодействие волн. Особенно эффективными нелинейные
взаимодействия в системе из S волн становятся при выполнении резонансных
условий:
8 S
2 njWj = о, 2 ~ о" (5-i)
i=i j=i
15
где щ - целые числа. Резонансные условия (5.1) часто называют условиями
фазового синхронизма, а взаимо* действия волн, характеризующиеся этими
условиями, принято называть резонансными.
Мы ограничимся рассмотрением нелинейного взаимодействия трех одномерных
волновых пакетов, которое характерно для сред с квадратичной
нелинейностью. Это взаимодействие играет основную роль в процессах
параметрического усиления и преобразования частоты, вынужденного
комбинационного и манделыптам-брил-люэновского рассеяния, в разнообразных
процессах обмена энергией между волнами в плазме и т. п. (см. [8-12]).
В слабонеоднородных слабонелинейных средах комплексные амплитуды волн -
медленно изменяющиеся в пространстве и во времени функции. Взаимодействие
таких узких в со- и й-пространстве волновых пакетов можно описывать в
рамках приближенных укороченных уравнений [8-11].
Если в уравнениях отсутствует явная зависимость от времени, то средние
волновые числа пакетов изменяются в пространстве в соответствии с
локальным дисперсионным соотношением
col = со] (k] (x)t х) = const. (5.2)
Таким образом, в неоднородных средах условия фазового синхронизма для
волновых векторов волн, вообще говоря, не могут быть выполнены во всех
точках пространства. Резонансные нелинейные взаимодействия волн
чрезвычайно чувствительны к расстройкам фазового синхронизма, поэтому
неоднородность существенно влияет на характер этих процессов.
Укороченные уравнения, описывающие взаимодействие трех волн в однородных
средах, неоднократно выводились для самых различных ситуаций в физике
плазмы и нелинейной оптике (см., например, [11]). В работе [13] эти
уравнения записаны в гамильтоновом виде. Влияние неоднородности сред на
форму уравнений и характер взаимодействий обсуждалось в обзоре Ерохина и
Моисеева [14] и монографии Ахманова и Чиркина [15].
Мы рассмотрим вопрос о модификации укороченных уравнений под влиянием
неоднородности на примере
16
трех связанных электромагнитных волн в неоднородном нелинейном кристалле
без пространственной дисперсии [9, 15, 16]. Интересующие нас уравнения
можно получить при учете нелинейности из волнового уравнения
rot rot Е + (4я/с2)д2Р(1)/д?2 + (1/с2)д2Е/д*2 =
