Взаимодействие волн в неоднородных средах - Засланский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
последней только определением б. Коэффициенты прохождения и отражения
соответственно равны [9]
D = 1/(1 + е"2в), R = 1/(1+ e2S), Я + ?> = 1. (9.10)
Приведенные рассуждения можно использовать для решения вопроса о
сохранении адиабатического инва-
32
рианта [10]. Рассмотрим уравнение для классического осциллятора
x + <a2U)x = 0, (9.11)
где ait) - аналитическая функция t, медленно меняющаяся со временем так,
что выполнено условие
х!х > оз/оз. (9.12)
Частота ait) нигде не обращается в нуль на действительной оси
t (рис. 4). Нетрудно видеть, что этот слу-
чай с формальной стороны полностью аналогичен надбарьерному отражению в
квантовой механике.
Пусть при t -*¦ ±°° решения уравнения (9.11) имеют вид
xit - °°) = Х+ + ГХ-,
(9.13)
¦ xit -*¦ + оо) = dx+,
х± = со~1/2 (t) exp i J (r) (t) dt'j,
где г и d определяются с помощью матрицы перехода
(9.8). Согласно определению R и D, имеем |г|2 = Л, \d\2 = D. Коэффициенты
отражения и прохождения R и D имеют размерность действия. I для
осциллятора и пропорциональны числу частиц в квантовой механике. Если 8 >
1, то из (9.13) и (9.10) следует, что
lit -*¦ - оо) - lit -*• + оо)~ е~26. (9.14)
Формула (9.14) определяет точность адиабатического инварианта - действия
при рассмотренных условиях. Если б < 1, то изменение адиабатического
инварианта существенно. Если кривая со it) начинает приближаться к
прямой, параллельной оси t, то е -*¦ 0 (см. § 6) ив соответствии с (6.6)
б -*• Точность инварианта повышается, что очевидно.
w (t)
Рис. 4. Характер изменения частоты со временем.
2 Заказ №414
33
§ 10. Две точки поворота. Правила квантования. Обсуждение точности метода
Нам осталось рассмотреть последний случай двух точек поворота - "яму"
(см. рис. 3, а). Обычная постановка задачи заключается в следующем: найти
собственные значения Е, которые соответствуют собственным функциям
ij>(;r, Е), ограниченным на ± °°. При х<а1 и х > а2 решение т|э(:г, Е)
может быть только затухающим с ростом Ы. Нам необходимо найти условия,
при которых осуществляется последний вариант.
Начнем решение задачи с определения правил сшивки решений. Эта процедура
будет полностью эквивалентна той, что делалась в § 8, 9. На линии 1
зададим решение в виде
= (10.1)
На линиях 1, 3 экспоненциально растущим является г|з+, а на линиях 2, 4 -
гр_. Поэтому имеем
Аг = Аи Bz - Bi + a,iAlt As = (А2 + fiiB2)e~i7t B3 = ialAl+Bl)ei\ (10.2)
A' = [A3 (1 + a2p2) + p2S3] "Tiv = B[ = (a2A3 + B3) eiy = Л15
где Ai, Вг - коэффициенты, с которыми мы возвращаемся на линию 1;
2у = - (j) к (х, Е) dx > 0; (10.3)
S'
jj)[k'(x)Jk(x)]dx (10.4)
S
(fi нашем случае |д. = л). Из уравнений (10.-2) находим а2^ + е2<т = е**,
а2(1 + "iPi) + с^е2'7 ?= 0,
Pi(l + а2р2) + 'Ргб2'7 = 0,
(1 + а^Н! + а2р2)е~2'т + ai$2 = е<й,
34
откуда
"1 = а2 = a, Pi = р2 = Р,
а,р = е<|* _ ег1\
(10.5)
Формула (10.5) принципиально ничем не отличается
от аналогичных выражений, полученных в § 8, 9, од-
нако неоднозначность в определении коэффициентов а, р теперь более
сильная, так как условие г^(ж) = = г|з*(;г*) для действительной функции
U(x, Е) выполняется тождественно и ничего нового не дает.
Чтобы в секторах (1, 1, 2) и (3, 3, 4) отсутствовали экспоненциально
растущие решения, необходимы условия:
Л,=Л3 = 0. (10.6)
Подставляя (10.6) в выражение для А3 из (10.2), находим: р = 0 или,
согласно (10.5),
е<(2Т-ц) = 1. (10.7)
(10.8)
(10.9)
Уравнение (10.9) определяет те собственные значения Е, для которых
решение является ограниченным на ± оо. Если функция U(x, Е) комплексная,
то все рассуждения остаются прежними, однако для существования решений,
обращающихся на ± яр в нуль, необходимо, чтобы действительная ось х
проходила в секторах (1, 1, 2) и (3, 3, 4). Уравнение (10.9) будем
называть по аналогии с квантовой механикой правилами квантования.
Таким образом, в случае ямы неоднозначность в определении аир снова
оказалась несущественной для получения величин, интересных с физической
точки зрения.
Обсудим теперь некоторые вопросы, связанные с точностью полученных правил
сшивки решений. Будем увеличивать расстояние между точками ai5 а2
Отсюда
или
2^ + (х = 2ия (п = 0, 1, ...)
а2
| к (х, E)dx = п(п -f 1/2).
2*
35
(см. рис. 3, а, б) в случаях прохождения через барьер и надбарьерного
отражения. При этом б Неиз-
вестная фаза <р, входящая в выражения для сс, $, связана со следующими
членами в разложении (6.6),
(6.7), которые мы не учитывали. Эти члены дают вклад в фазу решения S
порядка е'/!. При удалении точек аи аг 8 так как ф ~ в'1' 0. Отсюда
ос, {S
i, что совпадает с формулами (7.9) для одной точки поворота.
Итак, при наличии двух точек поворота можно при обходе одной из точек
пользоваться правилами (7.9) с указанной выше точностью. То же
справедливо и при большем числе особых точек. Точность формул (7.9) можно
повысить, если обходить одновременно рассматриваемую точку поворота и
ближайшие к ней. Чем больше особых точек мы сможем обойти одновременно,
