Взаимодействие волн в неоднородных средах - Засланский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
при ее анализе используются различные упрощающие предположения.
Решению исходной системы в тех случаях, когда есть какие-либо основания
для ее линеаризации, посвящены гл. I-IV. Заметим, что метод ВКБ в
некоторых случаях не позволяет получить однозначных решений линейных
уравнений с переменными коэффициентами. Тогда целесообразно комбинировать
решения, полученные методом ВКБ, с решениями, найденными на основе метода
контурных интегралов. С такой ситуацией мы столкнемся, например, в задаче
о прохождении параболического слоя в гл. II и при обсуждении метода,
предложенного Вазовым, в гл. IV.
В гл. V решения, полученные в предшествующих главах, используются для
анализа эволюционной задачи, описывающей поведение начальных возмущений
на неоднородном фоне. Конечно, упрощение исходной системы на основе ее
линеаризации возможно далеко не всегда.'В тех случаях, когда
взаимодействие волн достаточно слабое, возможно иное упрощение исходной
системы. Слабость взаимодействия обусловливает плавный характер амплитуд
волн. В результате мы приходим к упрощенным нелинейным, так называемым
укороченным уравнениям. Анализу решений таких уравнений посвящена гл.
VII.
В последней главе книги обсуждаются специфические особенности
взаимодействия волн в случайно-не-однородных средах. Случайный характер
неоднородности приводит к проблемам, связанным с необходимостью анализа
стохастических дифференциальных уравнений.
Глава I
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ПРЕДПОЛОЖЕНИЯ
§ 1. Введение
Рассмотрим некоторые конкретные физические задачи, которые сводятся с
формальной точки зрения к системе связанных волновых процессов. Для того
чтобы представить себе структуру уравнений, описывающих такие процессы,
остановимся на одной конкретной системе, отражающей, на наш взгляд,
многие характерные особенности взаимодействия волн в средах с переменными
свойствами:
(d2ldt2 - v\d2/dx2) &i = Pi&2^3>
(d2/dt2 - v\d2!dx2) b2 = (1-1)
(d2/di2 - v\d2ldx2) b3 = P3&A,
где bf - искомые функции, а коэффициенты vu в дальнейшем будут
предполагаться зависящими либо от переменной х, либо от t. Система (1.1)
не может быть решена аналитически в общем виде. Для ее решения
используются различные упрощающие предположения. Можно, например,
считать, что одна из функций bt является заданной. Тогда система трех
нелинейных уравнений (1.1) сводится к системе двух линейных уравнений:
(d2/dt2 - v\d2/dx2) Ъх = аф2, (d2ldt2 - v\d2ldx2') Ъ2 =
Здесь оц = р4&3, Ъ3 считается заданной функцией.
Как отмечено выше, коэффициенты v%, а, предполагаются зависящими только
от одной переменной. Будем пока считать, что они зависят от переменной t.
5
Тогда решение системы (1.2) можно искать в виде ",•(*) exp (ikx). В
результате приходим к системе уравнений для связанных осцилляторов
В дальнейшем мы увидим, что поведение связанных осцилляторов в основном
определяется резонансными точками, в которых совпадают частоты колебаний
шДг) = w2U), и точками поворота, в которых по крайней мере одна из частот
обращается в нуль = 0.
В гл. II система связанных осцилляторов (1.3) анализируется на основе
квазиклассического приближения, т. е. предполагается, что зависимость
",(?) достаточно плавная. При рассмотрении резонансных явлений в
связанных осцилляторах в этой главе не учитывается возможное влияние
точек поворота. Предполагается, что эти точки находятся достаточно далеко
и их влиянием можно пренебречь.
В гл. III рассматривается система с линейными коэффициентами
где о") = (о2 = const, ai = а2 = const. Эта система после преобразования
Фурье сводится к системе двух уравнений первого порядка. Причем при
определенных граничных условиях можно доказать, что система, полученная в
результате преобразования Фурье, эквивалентна исходной (1.4). Переход от
системы двух уравнений второго порядка к системе двух уравнений первого
порядка является весьма сильным упрощением. Дальнейший анализ сводится,
по существу, к исследованию решения обыкновенного дифференциального
уравнения второго порядка. В рамках принятой модели удается рассмотреть
влияние точек поворота на резонансное взаимодействие.
В гл. IV мы перейдем к анализу системы
% + (0 "1 = "1Д2.
"Ь (r)2 (0 (r)2 =
(1.3)
"1 + (1 + = ага2,
"2 + (1 + ?/тг) <*>2"2 = "2^!,
(1.4)
6
где at = -ос2 = const, м, = const. Система (1.5) сводится к одному
уравнению четвертого порядка. Его анализ в резонансной зоне проводится на
основе метода, предложенного Вазовым Ш. Заметим, что метод ВКБ не
позволяет однозначно продолжить решение в окрестности резонансной точки.
В гл. VI, VII рассматривается другое упрощение системы (1.1). Оно связано
с предположением о том, что решение исходной системы можно искать в виде
волн, слабо отклоняющихся от монохроматических
Ъг (х, t) - Ci (х, t) exp i ^ J kidx - oijij, где частота и,-
связана с волновым вектором дисперсионным соотношением из линейной
теории, a ct{x, t) - медленно меняющиеся комплексные амплитуды волн.
Пренебрежение старшими производными от медленно меняющихся амплитуд
