Взаимодействие волн в неоднородных средах - Засланский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
позволяет существенно упростить исходную систему. Вывод этих укороченных
уравнений для амплитуд мы подробно обсудим в § 5 настоящей главы. Решения
этих уравнений анализируются в гл. VII.
В гл. VI рассмотрим решение исходной системы в случае, когда используются
оба упрощения. Иными словами, будем считать заданной одну из амплитуд и,
следовательно, вновь придем к линейной задаче. Гл. VIII посвящена анализу
взаимодействий в случайно-неоднородных средах.
Все перечисленные модельные уравнения решаются при соответствующих
граничных условиях. Можно указать два типа краевых задач: задачи о
прохождении и задачи на собственные значения. В первом случае
предполагается, что решение известно в бесконечно удаленной точке и
рассматривается его изменение после прохождения резонансной зоны (зоны
сильного взаимодействия осцилляторов). Второй тип задач сводится к поиску
финитных решений, т. е. решений, локализованных в конечной области
безграничного пространства.
Во втором случае решение существует не всегда. Если краевая задача не
имеет решений ни при каких значениях параметров, то приходится
рассматривать более общую постановку задачи с начальными условиями (см.
гл. V).
7
Рассмотрим, например, уравнение в частных производных:
L{x, t)a{ = 0, (t.6)
где L{x, t) - линейный дифференциальный оператор. Его коэффициенты в
соответствии с ранее сделанным предположением зависят только от одной
переменной. Для определенности будем считать, что они зависят от х.
Применяя преобразование Лапласа по переменной t, перейдем к линейному
уравнению с правой частью
Lp{x)ai = ft(x), (1.7)
где Lp(x) - линейный дифференциальный оператор с коэффициентами,
зависящими от переменной х и параметра р, появляющегося в результате
преобразования Лапласа. Правая часть в уравнении (1.7) определяется
значением искомой функции при t - 0. Далее решение уравнения (1.7) ищется
методом функции Грина. Окончательно решение аАх, t) получается после
обратного преобразования Лапласа.
Перейдем теперь к обсуждению конкретных физических задач, в которых мы
столкнемся со взаимодействием волн в средах с переменными
свойствами.
§ 2. Адиабатическая теория возмущений в квантовой механике
Рассмотрим квантовую систему, на которую действует возмущение,
обусловленное медленным адиабатическим изменением некоторых параметров,
от которых зависит состояние системы. В этом случае можно развить
специальный приближенный метод расчета, называемый адиабатической теорией
возмущений 12- 4]. Сущность адиабатической теории возмущений состоит в
том, что в первом приближении медленно меняющиеся параметры считаются
неизменными.
Для определенности будем говорить о столкновении (элементарном процессе)
двух атомов. При этом фигурирует два сорта частйц: легкие электроны,
движущиеся с большими скоростями, и тяжелые, относительно медленные ядра.
Характерное время, необходимое
8
для перестройки быстрой электронной подсистемы, существенно меньше
характерного времени перестройки ядерной подсистемы.
Запишем уравнение Шредингера для полной квантовой системы
mdW(r,R)/dt = H(r,R)W(rtR)t (2.1)
где г - набор координат электронов, a R - набор ядер-ных координат.
В первом приближении рассмотрим электронную подсистему, зафиксировав
положение ядер,
He(r, R)q>m(r, R) = Um(R)q>m(r, R). (2.2)
Решение этой задачи с учетом граничных условий дает собственные значения
Um(R), параметрически зависящие от координат ядер. Функции Um(R) называют
адиабатическими электронными термами. Собственные функции фт(г, R)
образуют адиабатический базисный набор, отвечающий гамильтониану Яе(г,
R).
Решение полной системы будем искать в виде разложения
^ (г, щ = 2 Хт (R) фт {г, R) exp (- iEt/%). (2.3)
771
Подставляя это разложение в уравнение (2.1), с учетом того, что <pm(r, R)
образуют ортонормированную полную систему функций, получим условие для
определения %т(Д)
- 2 Щ- Д*Д." (R) + - С(tm) (R) - U(tm) (Я)] X
г
X %т(^)= i ^ттгттг'Хттг'" (2.4)
тфт'
{^2 ^2
2М- I | Ут'У X
1 1
X <фт | VRi I фт'> Уй{|"
Итак, получили систему' связанных уравнений Шредингера.
9
Если пренебречь правой частью в уравнениях (2.4), то придем к системе
несвязанных уравнений Шредин-гера, описывающих движение ядер в
потенциальном поле Um{R). Полная волновая функция в нулевом приближении
(сттг = 0) может быть представлена как
? (г> К) = tm (R) Фт (г, R) ехр (- iEt/%).
Она имеет такой вид, как если бы подсистемы были независимыми. Такое
приближение соответствует тому, что электронная подсистема как бы
подстраивается под перемещение ядер, т. е. квантовое состояние Um
электронной подсистемы изменяется в соответствии с движением ядер.
§ 3. Уравнение Орра - Зоммерфельда
Исследование резонансных эффектов в колебаниях сплошных сред удобно
начать с классической задачи
о колебаниях плоскопараллельных неоднородных течений несжимаемой
жидкости [5].
Введем прямоугольную систему координат, где ось Оу направлена вдоль
течения, а ось Ох - по направлению, в котором изменяется его скорость
