Взаимодействие волн в неоднородных средах - Засланский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
v0(x). Предположим, что профиль скорости не имеет точек перегиба, т. е.
d2v0/dx2 нигде не обращается в цуль. В дальнейшем будем считать, что
вязкость жидкости мала, так что число Рейнольдса велико.
Движение несжимаемой жидкости описывается уравнением неразрывности
divv = 0 (3.1)
и уравнением Навье - Стокса
d\/dt = - Vp/ р + vAv. (3.2)
Здесь все обозначения общепринятые. Применяя к
уравнению (3.2) операцию rot и учитывая (3.1), не-
трудно привести его к виду:
(d/dt - vД*. v) (rot* v) = 0. _ (3.3)
В отсутствие вязкости это уравнение выражает закон сохранения ротора
скорости в идеальной несжимаемой жидкости.
10
Для двумерных течений уравнение (3.1) позволяет ввести функцию тока
cp(i>*) = д<р/ду, vy - -ду/дх. В результате уравнение (3.3) принимает
окончательный вид
(d/df - vAx, ")Дх, = 0, (3.4)
Заметим, что в отсутствие вязкости профиль скорости может быть
произвольным, иными словами, уравнению (3.4) при v = 0 удовлетворяет
произвольная функция
X
Ф0(ж)= \dxvoy(x). " (3.5)
Рассмотрим теперь малые возмущения vt < v", ф! < < <р0- В силу
стационарности и однородности течения по Оу возмущение можно выбрать в
виде фД-ж, t) exp i(ky - coi). В результате уравнение (3.4) приводится к
известному уравнению Орра - Зоммер-фельда
- 1уД2ф1 + [со - kv0 (ж)] Дфх + /с^оф! = О,
А - dVdx* - к\ (3.6)
В отсутствие вязкости уравнение представляется так:
Дф1 - vq4iI[Vq(x) - ю/й] = 0. (3.7)
Если речь идет о течении в слое, то нормальная
компонента скорости обращается в нуль на ограничивающих поверхностях {x -
xi Z). Это дает граничные условия для "невязкого" уравнения (3.7) 2) =
= 2) = 0. При наличии вязкости следует учесть
отсутствие тангенциальной составляющей скорости на ограничивающей
поверхности, так что для уравнения Орра - Зоммерфельда (3.6) имеем еще
два граничных условия d(f11 dx \x=xi 2 = 0. В дальнейшем (см. § 26) мы
увидим, что на характер поведения решения уравнения (3.6) существенное
влияние оказывает наличие так называемой резонансной точки х3,
определяемой условием v0(xs) = со//е. Эта точка является особой для
невязкого уравнения (3.7). Ее название (резонансная) в данном случае
оправдывается тем, что в этой точке совпадают скорость течения и фазовая
скорость колебаний.
11
§ 4. Магнитогидродинамические колебания в плазме
Плазма рассматривается в магнитогидродинамическом приближении. В качестве
исходных берутся уравнения магнитной гидродинамики
dR/dt = rot [v X Н] d\'/dt = - Vp'/po + (x[rot H' XH0]/p0 +
(4.1)
dp/dt + div (p • v) = 0, div H = 0.
Здесь все обозначения общепринятые. В дальнейшем индексом будем снабжать
невозмущенные величины, а возмущенные величины - штрихом.
Примем 1>0 = 0, тогда уравнения для возмущений представляются в виде
dH7cK = rot[v' ХН0], dv'/dt = - Vp'jро + jxtrot Н' X Н"]/р0 +
+ jxtrot Но X Н']/р0,
(4.2)
dp7dt + p0(V • v') + v' • Vpo = 0, div H' = 0.
В изотермическом случае .
Ро - с2р0, р' - с*р', с2 = const. (4.3)
При этом параметры невозмущенной плазмы должны удовлетворять следующему
уравнению:
Vp0 = fitrot Н0 X Н0]. (4.4)
Введем декартову систему координат. Будем счи-
тать, что направление магнитного поля совпадает с осью z. Примем также,
что невозмущенные величины не меняются в этом направлении. Тогда
возмущенные величины можно считать ~ехр dktz), где к2 - волновое число
вдоль магнитного поля. Кроме того, будем считать возмущения плазмы
несжимаемыми
divv' = 0. (4.5)
12
Тогда система (4.2) после несложных преобразований сводится к одному
уравнению
(д2/дг2 + col) v±? = 0. (4.6)
Здесь ? характеризует амплитуду возмущения (в частности, под ? можно
понимать смещение плазмы в направлении неоднородности Е; = v±), <вЛ =
kzcA, сА = =(и#о7ро)1/2- скорость Альфвена, - градиент поперек магнитного
поля.
Магнитогидродинамическое приближение, использованное при выводе уравнения
(4.6), не учитывает тонких кинетических эффектов, таких, как конечность
ларморовского радиуса и столкновения. С их учетом в уравнении (4.6)
появляются дополнительные слагаемые [6]. Приведем их без вывода (за
подробностями можно обратиться к работе [6])
(L" + Zt)? = 0, (4.7)
где L0 = (<92/<Э t2 + со a) Vi - оператор уравнения
(4'6), a Li - добавка, обусловленная кинетическими эффектами:
У±. (4-8)
Здесь Те, Tt - электронная и ионная температуры, р<- ларморовский радиус
ионов. Первое слагаемое обусловлено учетом конечности ларморовского
радиуса, а второе - вкладом запертых электронов. Безразмерный параметр б
= (4/7)(ve/a)A)i61/2 связан с частотой элект-рон-ионных столкновений ve,
а величина е представляет собой отношение радиуса орбиты запертого
электрона к характерному размеру системы.
Предположим, что в плазме имеются быстрые (пучковые) частицы плотностью
пь, причем их доля невелика на фоне плотности основной плазмы п0, т. е.
пь/п0< 1. Тогда их присутствие можно учесть [6], заменив частоту (c)л в
(1.7) на
"ь = (0^(1 - iy]/2), (4.9)
где величина г] ~ пь/п0 является малой добавкой к единице.
13
Таким образом, уравнение, описывающее альфве-новские колебания в
