Взаимодействие волн в неоднородных средах - Засланский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, получив на штриховой линии (см. рис. 6) приближенное
решение, мы не имеем корректного метода перехода на линию уровня.
Существует, однако, возможность одновременного обхода точек (а:0, х,),
рассмотренная в § 8,9. При этом мы допускаем ошибку в определении
коэффициентов сшивки ~1 /Ы в фазе и ~е~2Ы по модулю, где I - расстояние
от х{ до ближайшей особенности в хг Для того, чтобы эта ошибка была мала,
необходимо, очевидно, потребовать: И" 1. Это означает, что между точками
хи х2 (т. е. в яме) должно происходить большое число осцилляций решения
г|>.
Перейдем теперь к определению % в ВКБ-прибли-жешш. В области
xt = х3 - L > х > х0 - L = х2 (12.6)
запишем решение в виде
1>(я) = Зф+ + Яф_, (12.7)
где
г|з± = /Г1/4 ехр |± i J к (х) dzj. (12.8)
Так как х в формуле (12.8) меняется в интервале
(12.6), г|з± тождественно совпадает с il)(:r) (см. (12.4)). Таким
образом, оператор сдвига по координате на период можно представить с
помощью матрицы М, определенной из условия
(12.9)
40
Искомые К есть собственные значения матрицы М. Используя формулу (8.17),
можно сразу написать
м=_. fie~i4,~^( 1 + е26)1'2 ~ еь~Ы \
Деб+" ^ф+"(1 + е2б)1/2 /
где (12.10)
xi
6 = г | к {x)dx > 0, (12.11)
*0
ж2
а - J к (х) dx > О, xi
а множители ехр(±а) появляются вследствие того, что начало отсчета в
(12.8) выбрано в точке хг, а не в х0. Из выражения (12.10) находим
уравнение для определения X
V - 2(1 + е2в)'/г cos (а + <р) • I + 1 = 0. (12.12)
Из (12.12) следует, что два корня A-i, Л2 связаны соотношением ЯД2 = 1.
Если Л - комплексное, то |Xli2l = 1 и все решения уравнения (12.12)
ограниченные. Если корни действительные, то одно из решений растет при х
°°, другое затухает. Выражение для X имеет вид
Л-1.2 = (1 + e2S)'/a cos (а + <р) ±
±i[l -(1 + e2S) cos2(a + ф)]1/2. (12.13)
Отсюда сразу получаем условие ограниченности решения
(1 + е26) cos2 (а + ф) ^ 1. (12.14)
Полученное выражение справедливо для любых б. При
б > 1
cos2 (а + <р) ^ е-25. (12.15)
При б < 1
cos2(a + <p) ^ (1 - б)/2. (12.16)
Как будет показано в следующем параграфе, неопределенной фазой ф можно
пренебречь в случае (12.15). При б < 1 фаза ф в (12.16) существенна.
Изложенное решение непосредственно применимо к задаче о движении
квазиклассической частицы в пе-
41
риодическом потенциале. Уравнение Шредингера в этом случае имеет вид
ф"+[Я-71Ы]ф = 0 (2л" = Л = 1), (12.17)
Vt(x + L) = Viix) = V0V(x), IVix)\ 1,
где V" - амплитуда потенциала F,(x). Удобно перейти к безразмерным
переменным
d^/dz2 + [q2-V (Qz)] ф = 0, (12.18)
где г = xVl'\ q2 = E/V0, Q = 2п/ЕУ^2. Условием применимости ВКБ-
приближения является
Q/q<l. (12.19)
Физически приемлемы только ограниченные ^-функции. Это накладывает
определенные ограничения на возможные значения энергии частицы Е.
Таким образом, условие (12.14) служит для определения собст-
венных значений энергии.
§ 13. Уравнение Матье. "Медленные" нарушения трансляционной симметрии
Изучим более подробно уравнение (12.18), выбрав конкретный вид потенциапа
F(?2z):
V(Qz) = cos2 Qz. (13.1)
Задача заключается в том, чтобы для уравнения Матье
d2ty/dz2 + [ q2 - cos2 Qzl г|з = 0 (13.2)
определить значения q, обеспечивающие ограниченные на всей оси z решения
i|)(z). Подставляя в формулы (11.11)
k{z) = (q* - cos2 Q zYu, (13.3)
находим
a = (2/QHE(n/2, q) - (1 - q2)F(n/2, q)}, (13.4)
6 = (2/QHE(n/2, (1 - q2)V - q2F(n/2, (1 - q2)4')},
где E, F - эллиптические интегралы соответственно первого и второго рода.
Мы ограничимся рассмотрением интересного с физической точки зрения
случая, ког-
42
да уровень энергии проходит близко к краю ямы, т. е. Е ~ F0, или
О < 1 - g2 < 1. (13.5)
В этом случае
а * (2/?2){1 - (1/4)(1 - q2)ln[16fe'V(l - д2Ш, (13.6) ""(it/2Q)(l -q2).
Условием малости 6 является 5>
(1 - q2)/Q " 1. (13.7)
При выполнении неравенства (13.7) точки и х0 на рис. 5, 6 настолько
приближаются друг к" другу, что k(z) можно разложить в ряд по z и
ограничиться первыми двумя членами. Это приводит к задаче типа
параболического слоя (см. § 10). Согласно (10.14), получаем
Ф ¦" - [(1 - gz)/2Q]ln[(l - g*)/Q] -
- [(Г- д2)/2?2] (1п2-- С). (13.8)
Из (13.6) и (13.8) определяем
а + ф * 2/Q - [(1 - д2)/2?Шп Q. (13.9)
Подставляя (13.9) в условие ограниченности решения
(12.16), находим
(Зя/4) > (1/ШИ - (1/4)(1 - q2) 1пШ -
2пп > я/4, (13.10)
где п > 1 - произвольное целое число. Уравнение
(13.10) определяет хак называемые разрешенные энергетические зоны.
Значения я/4 и Зя/4 соответствуют краям этих зон. Итак, энергетический
спектр имеет характер чередующихся разрешенных и запрещенных
энергетических полос (зон). В рассмотренном случае, определяющемся
неравенством (13.7), ширина АЕ разрешенной зоны находится из (13.10)
АЕ ~ я?2У0/Ы1/?2). (13.11)
Ширина запрещенных зон того же порядка. Хотя выражение (13.11) получено,
для конкретного вида (13.1)
5) Другие случаи рассматривались в- [13].
43
потенциала V(Qz), можно показать, что оно справедливо и в общем случае
