Взаимодействие волн в неоднородных средах - Засланский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
периодической F(Qz) для уравнения (12.18).
В теории устойчивости колебаний уравнение Матье исследуется в несколько
иной постановке. Уравнение движения записывается в виде
х + o)q [1 - h cos Q>t] х = О, h < 1. (13.12)
Условием применимости ВКБ-приближения будет
М2/шо<1. (13.13)
Интересны, наоборот, неустойчивые решения, расту-
щие со временем (параметрический резонанс). Свободным параметром является
й. Вблизи некоторых значений S3 возможен параметрический резонанс. Ясно,
что изложенную схему можно применить для отыскания асимптотик функций
Матье (в частности, приЛ~ 1) и определения областей AQ, при которых
возможна неустойчивость6). Схема линий уровня показана на рис. 7. Точки
fli, а[ можно обходить одновременно по контуру 3? и воспользоваться при
этом для матрицы перехода выражением (9.8). Как и в § 12, мы должны
потребовать, чтобы расстояние между точками ац а2 было велико, т. е.
Q/fflo ^ 1- (13.14)
Неравенство (13.14) означает, что излагаемый мдатод применим для
исследования резонансов высокого порядка.
Задачи, рассмотренные в предыдущем и в этом параграфах являются в
определенном смысле идеализированными. Реально возможно слабое
отклонение
6> В такой постановке эту задачу решал Г. Е. Векштейн,
Рис. 7. Линии уровня для уравнения Матье в случае высоких резонансов.
44
функции V(x) от периодичности. Будем говорить о "медленном" отклонении от
периодичности, не ограничивая величины этого отклонения, например период
L = Liz) с условием медленности
dL/dx ~ L/Lt " 1. (13.15)
Хотя теория возмущений неприменима, однако наличие малого параметра
(13.15) дает возможность построить решение в виде некоторого
асимптотического ряда.
Будем для конкретности говорить о движении частицы в потенциале, медленно
отклоняющемся от периодического. Вместо уравнения (12.18) рассмотрим
d2i!p/dz2 + [g2(z) - F(zQ(z))]\|} = 0, (13.16)
где
q2iz) = [E-Viz)l/V о, (13.17)
a Viz) и Q(z) - медленно меняющиеся функции с характерной длиной
изменения Lt > L по переменной х. Построим решения уравнения (13.16),
ограниченные на действительной оси z, и выясним, что происходит с зонной
структурой энергетического спектра частицы вследствие слабого нарушения
трансляционной симметрии [14].
В первом приближении для достаточно высоких уровней, когда можно
воспользоваться ВКБ-методом, будем пренебрегать зависимостью V и Q от z.
Тогда можно воспользоваться результатами §11.
¦ф = А\1р+ +
\|з± =АГ1/4 exp i |j/с (z) dzj, (13.18)
к = [q2- F(Qz)]'\
где q определено формулой (13.17), а матрица М имеет вид (11.10). Все
интегралы, входящие в М, берутся по отрезку длиной ~ L, и поэтому вполне
естественно пренебречь при определении а и б зависимостью V и Й от х. Во
втором приближении учтем эту зависимость. Тогда вместо'(12.9), (12.10)
получаем
РЦ= i[ie~mz)~Mz) (1 + е*тУ!* ~ em~ia{z)\/A (z)\ I В (Z) j 1 Ve6(2)+ia(2)
ieMz)+ia(z) + e26(z)y/2 J\B(z)j
• • • (13.19)
45
Если вычесть слева и справа по столбцу с компонентами A{z)\ Biz), то
получим систему двух уравнений в конечных разностях, которую можно
заменить системой двух дифференциальных уравнений первого порядка.
Решение этой системы можно искать в ВКБ-приближении. Это дает
{в о) ~ еХ^[:^ * I -(r)) J = (z)* (13.20)
где k.iz, ?)=lnMz, Е), (13.21)
а X, согласно (11.12), определяется из уравнения
Я2 - 2Ш + e2Hz))'h cos la(z) + <p(z)J + 1 = 0. (13.22)
В дальнейшем с функциями A±lz) следует поступать так же, как с ijxt, в
зависимости от вида Mz, Е). В этом смысле задача свелась к уже известной
нам процедуре. Собственные значения определяются видом функции kiiz, Е),
причем характер зависимости k^z) (например, яма или горб) может быть
различным для различных значений Е. Пусть функция V(Qz) задана уравнением
(13.1). Тогда величины а, б, ф определяются по-прежнему уравнениями
(13.6), (13.8), в которых для q надо воспользоваться формулой (13.17).
Согласно (13.20), квазиимпульс частицы A,(z, Е) можно рассматривать как
импульс для функций A(z), Biz), удовлетворяющих уравнению типа Шредингера
с энергией [lnX(z, Е)]г. Точкам поворота соответствуют
Рис. 8. Энергетическая поверхность в слуиае нарушения трансляционной
симметрии.
48
края энергетических зон, определяемых уравнением
(13.10), где q(z) имеет вид (13.17).
На рис. 8 изображена поверхность к2{х, Е). Области I, II соответствуют
разрешенным зонам энергии. Плоскость Е - Ей вырезает на поверхности к2(х,
Е) кривую к2(х, Е0), имеющую "горбы" между разрешенными зонами и "ямы"
внутри зон. Это означает возможность туннельного перехода между зонами.
Точки а и Ъ являются точками поворота. При х > ха в области энергий, для
которых к2(х, Е) <,0, зоны исчезают, а в области энергий, где к2{х, Е) >
0, энергетический спектр становится сплошным. Если к2{х, Е) в некоторой
области энергий имеет вид ямы, то спектр вырождается в дискретный.
§ 14. Уравнение четвертого порядка. Два связанных осциллятора
До сих пор речь шла об уравнении второго порядка. Пиже будет показано,
