Взаимодействие волн в неоднородных средах - Засланский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
как в простейших случаях путем небольших усложнений можно применить метод
Цвана для исследования дифференциальных уравнений произвольного порядка.
Рассмотрим сначала уравнение четвертого порядка
г|э1У + 2U2{x)ty" + Ui(x)ty = 0. (14.1)
Как и для уравнения второго порядка, будем предпо-
лагать медленную зависимость Е/Дж), Uzlx), характеризуемую малым
параметром е:
к ~ 1|>'Л|>, L ~ U'JU, ~ U'JU2, (14.2)
е = 1 JikLY " 1.
Решение (14.1) ищем в виде
г|з = exp |i j" (&<0) + &(1) + ...) dzj, (14.3)
где кт ~ е~ч', &(1) ~ 1, к{2) ~ е1'. Подставляя (14.3) в
(14.1) и приравнивая члены одного порядка, имеем
(kw)l-2U2(km)2 + Ul = 0, (14.4)
4 (kw)akw - 6i (k(0)f - 2Ut (i ^ - 2Л(1)) = 0,
(14.5)
47
Из уравнения (14.5) с помощью (14.6) получаем
Таким образом, главный член асимптотического ряда (14.3) имеет вид
где нулевой индекс при к для простоты опущен.
Решения (14.8) так же, как асимптотические решения уравнения второго
порядка, имеют особые точки. Такими точками являются, в частности, точки
совпадения корней характеристического уравнения (14.4), т. е. точки, где
возможны равенства:
Необходимость построения асимптотических решений уравнения типа (14.1)
встречается в различных физических задачах, например при изучении
неупругих атомных столкновений [6], теории гидродинамической устойчивости
[15], законов сохранения адиабатических инвариантов- [16]. Остановимся
подробнее на последней задаче.. "
Рассмотрим систему двух связанных осцилляторов, .функция Лагранжа которой
равна
= т In + iln ^ +
+ u'J[(k[%y -1/2]} = f {? In k[°l +
+ ? ln(E7! - E^)1'2 ± U'2/(Ul - t/,)172}. (14.7)
(14.8)
ki - ki - 0, k% - k% - 0, ki = кг, k\ = k^.
(14.9)
(14.10)
(14.11)
2 = (1/2) (i2 + y2) - (1/2) со2 (t) x* -
- (1/2) col (?) i/2 + a{t)xy. (14.12)
48
Уравнения движения для рассматриваемой системы имеют вид
x + a\x = a(t)y, ......
(14.13)
у+ U>ly = a (t) X.
Относительно функций cols со2, а будем предполагать
выполненными условие аналитичности и условие мед-
ленности, аналогичное (14.2). Если бы параметры системы toi, 0)2, а были
постоянными, то можно было перейти к нормальным колебаниям
Z + Q2X = О
(Qx Ф Q2), (14.14)
У +Й?У = 0,
не связанным друг с другом. Нормальные частоты
02 определяются из характеристического уравнения
Q4 - (со? + а>1) Q2 + (со?со^ - а2) = 0 14.15)
п являются собственными значениями матрицы преобразования квадратичной
формы (14.12) к каноническому виду, или, что то же самое, системы (14.13)
к
(14.14). Связь между (X, Y) и {х, у) следующая:
Q2 - со2
[(со2 - Q2)2 + а2]1/2 Z+ _[(co2-Q2)2 + a2ji/2 Y
(14.16)
а v ^ Q2 - со2 v
У = i(co2-Q2)2 + a2]1/2 Х + [(со2-й2)2+а2]^ Y>
где
= (со2! + со2)/2 ± [(со2 - со2)2/4 + а2]1/2,
(14.17)
а нормировка выбрана такой, чтобы при а 0 выполнялось условие х X, у ->-
Y.
Вернемся теперь к системе (14.13). Учитывая формулы (14.3), (14.8),
главные члены четырех асимптотических рядов, представляющих независимые
решения, можно представить в виде
49
Х± = nx(f)exp |± i Г
1 t (14.18)
Г± = П2<(f) exp |± i j ?22d* J,
где Qi>2 - по-прежнему решения характеристического уравнения (14.15). По
сути дела, в нулевом приближении в ВКБ-методе происходит переход к
"квазинор-мальным" колебаниям с той же матрицей преобразования, что и в
случае постоянных (о15 (c)2, а. В точке, где совпадают характеристические
корни, ранг матрицы преобразования понижается и она становится особой.
Возникает тот же вопрос, что и для решений уравнения второго порядка:
определить правила сшивки приближенных решений (14.18) в различных
областях комплексного переменного t.
§ 15. Связанные осцилляторы. Прохождение через резонанс
В дальнейшем будем предполагать, что все возможные особые точки системы
(14.13) достаточно удалены, так что каждую из них можно рассматривать
отдельно. На рис. 9 прямыми условно представлены четыре решения (14.18).
Тбчкам пересечения прямых (или "пересечения" решений) соответствуют точки
совпадения характеристических частот типа (14.9-)-(14.11). Особые
области, в которых нарушается условие применимости ВКБ-приближения,
обозначены окружностями. Эту область будем называть резонансной. Точка fi
отвечает случаю (14.10), t2 - случаю (14.9), t3 - случаю (14.11).
Сделанное в начале параграфа предположение заключается в том, что
резонансные области на рис. 9 следуют на достаточно большом расстоянии
друг от друга. Случаи (14.10), (14.11) описывают так называемые
внутренние резонансы в системе.
Ограничимся случаем со1со2 > а. Тогда особые точки не могут быть на
действительной оси. Пусть слева от какой-либо резонансной области задано
решение системы (14.13) в виде
y = AlX++A2Y+ + AsY- + AiX-. (15.1) Нам необходимо найти решение справа
от резонан-
50
Рис. 9. Схема пересечения решений для связанных осцилляторов.
сной области
y = BJL+ + BtY+ + BiY- + BiY-, (15.2)
т. е. определить матрицу перехода М для соответствующего типа резонанса
В = МА, (15.3)
где
, А+ = (A*, At, At, Al),
, В +={Bt,Bt,Bt,Bt),
