Гравитационные линзы и микролинзы - Захаров А.Ф.
ISBN 5-88929-037-1
Скачать (прямая ссылка):
Из того, что <7 = 0, следует, что коэффициент в правой части уравнеН'" фокусирования (2.22) непрерывен в вершине, т.о., его решение опреде.іеІІ' на отрезке от наблюдателя до первой сопряженной точки. линзы
22 вывоДУР^^!_
света вблизи невырожденной сопряженной точки
45
ПУЧ°^рожденной сопряженной точке локальное разложение функций ® ^we) определяется величинами Гс = Лс ф О, ЛС,ГС. Поскольку соотно-^ задающее ограничение (2.30), должно быть выполнено, то имеется
пусть а и b
единственные
шение,
пять независимых начальных условии: ""мплексные числа, такие, что Ac = аА и Гс = ЬГ. Тогда из соотношения (¦? 30) следует, что Xm [а + Ъ] = 0, откуда получаем Не [а - Ь] = а - Ь*. H певой собственный вектор матрицы Vc не есть нулевой собственный вектор матрицы Vc тогда и только тогда, когда Не [а — Ь] ф 0, поэто--Jle [а] ф Не [Ь]. С учетом уравнений (2.34) разложения для функций Л и Г вблизи сопряженной точки могут быть записаны в виде
Л(е) = [1 + ае + t(Hc - ТС)/2]АС + 0(е3), Г(е) = [1 + be + с2(Hc - Tc)/2]Ac + 0(е3).
(2.43)
Тогда имеем следующее разложение для определителя матрицы Якоби:
det V(e) = 2Не [а - Ь]|Лс|2е + (|а|2 - |Ь|2)|Лс|2е2 + 0(е3). (2.44)
Т.о., ведущий порядок в данном разложении равен единице. Для оптических скаляров получаем
12 |i|2
= Ь
(2.45)
Следовательно, скорость изменения сдвига действительна в нулевом порядке малости (в выбранной системе координат, в которой Ac = Гс), становится мнимой в первом порядке малости, если и только если величина Tc имеет мнимую часть. Для функции w(t) имеем следующее разложение в окРестности невырожденной сопряженной точки:
w(t) = |Ac|sign(7Je[a - Ь]е)^2|тге[а — Ь]е|(1 Ч- 0(е2)),
или, вводя обозначение dc =
4- det V
аХ
Ac
w(t) = 8І6п(гісе)УКе|(1 + 0(е )).
(2.46)
(2.47)
Так
СВ0Й В НевыРожденно® сопряженной точке функция w непрерывна, меняет
знак и имеет конечный разрыв первой производной. Якоб °жно подвести итог анализа поведения определителя отображения
И и оптических скаляров вблизи сопряженных точек: jj . 1 в невырожденной сопряженной точке в первом порядке малости 2 oce^=I/2е,оос1/2е; ) в фокусе в первом порядке малости det V ос е2, в = 1/е, а = 0. 46 Глава 2. Уравнение гравитационной лиц ^hl
Следовательно, исходя из поведения скорости изменения сдвига в с пряженной точке, можно утверждать, что уравнение фокусировки (2.2ji для функции W может быть проинтегрировано через сингулярность в ^ пряженной точке: в наихудшем случае, когда правая часть уравнеїд, (2.21) ведет себя, как \a\2^/V ос е-3'2, то w(c) ос sign(e). Т.о., решение ур^ нения фокусировки ДЛЯ функции W хорошо определено даже В ТОМ случар если имеется сопряженная точка между источником и наблюдателем. ходя из поведения определителя отображения Якоби, МОЖНО утверждав также, что знак функции w меняется только в невырожденной сопряжец. ной точке. Ясно также, что точки, сопряженные на кривой 7о, образуїої дискретное множество.
2.2.3. Вывод уравнения гравитационной линзы
В настоящем разделе приведем те основные предположения, которые ио пользуются для получения основных соотношений стандартной теории гра-витационных линз. Вселенная Фридмана
Если сделать предположение, что вселенная изотропна и однородна, то ре-шение ургшнений Эйнштейна есть метрика Фридмана-Робертсона-У OKepa1 т.е. дн = с2, д,, - -R2(t)ga, где
<7гг = ^kr2, gee = г2, дфф = г2 sin2.*, (2.48)
параметр к = 0,+1,-1 характеризует то, что рассматривается плоское, замкнутое или открытое пространство; t - "космическое" время. Наблюдатель, обладающий 4-скоростью Ua в событии, характеризуемом значением параметра Л на "центральном" луче светового пучка, измеряет частоту w(A) = Cka(X)Ua(X) = -UokaUa(X), где ка - волновой вектор "центрального" луча, W0 - частота в вершине пучка, г(Л) := (w(A) — wo)/w<>* красное смещение. В метрике Фридмана-Робертсона-Уокера красное смещение изотропно и связано с масштабным фактором метрики соотношением R(z) = Rq j(l + z), где Rq - масштабный фактор в вершине пучкз (z = 0, t = to). Имеется дифференциальное уравнение, описывающее изменение красного смещения в згшисимости от аффинного параметра
? = Г-
Заметим, что тогда згшисимость собственного интервала Dprop от a<J ного параметра при заданном значении красного смещения имеет вид
dDprop = (1 + z)dX, (2.5о!
что согласуется с тем, что аффинный параметр ргшен величине co6cT0cf' ного интервала в вершине при A = Z = 0. Для вселенной Фридмана с ну-'^ вой космологической постоянной и тензором энергии-импульса идеальИ® 22 ВывоДУР^^-ЛИНЭЫ 47
ти без давления р <С рс2 уравнение (2.49) может быть решено под-
:^вкой решения Фридмана для R(t)/R(t):
*идк° ста
Л(г) = і/ (і + ,')МЬ' + і' (2-51)
U0 =г d(ln R)/dt - параметр Хаббла для наблюдения в момент t0. Параллельный перенос в пространстве-времени фридмана-Робертсона-У окера
Для того, чтобы вычислить источник сдвига, определенный в соотношении (2 16), необходимо найти выражение для экранных векторов Ef ,i = 1,2 и нормированный волновой вектор ка. Выберем центр пространственно-подобной координатной системы в точке, где находится наблюдатель, и пусть центральный луч 7о соединяет источник и наблюдателя в направ л е-JJJ1J1 в — jr/2. Рассмотрим безразмерную функцию
