Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Захаров А.Ф. -> "Гравитационные линзы и микролинзы " -> 21

Гравитационные линзы и микролинзы - Захаров А.Ф.

Захаров А.Ф. Гравитационные линзы и микролинзы — M.: Янус-К, 1997. — 328 c.
ISBN 5-88929-037-1
Скачать (прямая ссылка): gravitacionnielinzi1997.djvu
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 127 >> Следующая


где Д2 - двумерный оператор Лапласа.

Покажем, что приближенная приливная матрица (2.68) может быть выражена через вторые производные потенциала отклонения, что является более удобным, чем выражение через производные функции Ф. Действительно, используя соотношения (2.67), (2.69) и (2.64), можно проверить прямым вычислением, что для г, Jfc Є {1,2}

ДзФК) := —2(0.

(2.70)

/оо 2 ГОО

<*<зФ,*«,<з)= / ЙСзФ,зз(?,Сз)

-oo * J -oo

OO

oo

OO

= 0.

(2.71)

Т.о., из соотношения (2.68) получаем, что

= -(l + z)8(\-\d)U(t)-В последнем равенстве введено обозначение для матрицы Гессе

Можно обобщить полученный результат на случай нескольких неоднор0'1 ностей, а именно, на случай, когда наблюдатель находится при крас»0®1 смещении, равном нулю в усредненно фридмановской вселенной, источИ'1 ку соответствует красное смещение, равное zs := zn+i, и имеется гФс' извольное число N геометрически тонких слабых неоднородностей ме*^-источником и наблюдателем, которым соответствуют значения аффинИ0*4

ме*я):

MHtf ОГ" ^2дитодурявнєния линзы

53

паРа1

метра Ai, •••! An с соответствующими значениями красного смещения Тогда, если определить значения двумерных экранных векто-луЧа (относительно одного луча 70 семейства) в неоднородностях с Р°®оіИЬІО векторов (j, и матрицы отклонения для этих значений векторов ^означить Uj(?j), то оптическая приливная матрица равна

n

7A) = Hbg(X)I - ?(1 + WA - А,). (2.72)

При получении соотношения предполагается, что различные лучи в пучке ДОЛЖНЫ быть, грубо говоря, параллельны друг другу до первой неоднородности, затем считаем, что то же самое справедливо для каждой следующей неоднородности, что обеспечивается тем, что углы отклонения малы. Если рассмотреть только бесконечно тонкий пучок в окрестности "центрального" луча, то получим

n

Tp(X) = Hbg(X)I - 53(1 + z,)U,(0)S(X - А,). (2.73)

ї=і

2.2.6. Рекуррентное соотношение

Используя полученные результаты, можно решить ургшнение (2.18) с учетом (2.72). Рассмотрим семейство пучков с параллельными "центральными лучами". Пусть имеется метка пучка, определяемая величиной экранного вектора характеризующая положение "центрального" луча пучка относительно луча 7о. Вводя обозначения Т>?(?п) := 1ітл\л„А) и ®n(?n) := Iiiru^An І>{?п\ А), получим

Т>Шп) -?-(*„) := -(1 zn)Un(in)Vn(in), (2.74)

т.о., матрица Якоби непрерывна, но ее производная имеет разрыв в неоднородности в приближении гравитационной линзы. Используя соотношения (2-74), можно выразить производные матрицы Якоби как функции матриц Якоби при значениях красного смещения zn-i, zn и zn+i ¦ Для этого вначале рассмотрим эволюцию бесконечно тонкого пучка света вне неоднород-

ностей.

Дифференциальное уравнение Дайера-Редера

сследуем эволюцию пучка вне неоднородностей, который называется пу-^1M пучком или пустым конусом. Поскольку вне неоднородностей источ-сдвига ргшен нулю, то дифференциальное ургшнение (2.18) может быть Щено с учетом соотношений

V(X) = Hbg(X)V(X) = -~?pbg(z)(l + z)2V( А).

Если „„

Рь ( дставить в згшисимость плотности от красного смещения ) ~ <5ро(1 + г)3 определение параметра плотности Q = Po/Pent, где 54 Глава 2. Уравнение гравитационной лиц ^hl

Pcrit = 3Ho/(8?rG), то найдем, что каждый компонент V удовлетвори дифференциальному уравнению:

|LB(A) = -f|faO[l+*(A)]5B(A). (2.75)

Используя соотношение (2.51), задающее связь аффинного параметра красного смещения, преобразуем уравнение (2.75) к дифференциальному уравнению Дайера-Редера (1973)

(Qz + 1)(1 + + [^Qz + Ц + з] + IaQB(z) = 0. (2.76)

Это дифференциальное уравнение второго порядка имеет два линейно Hfr зависимых решения. Напомним, что решения Bi и S2 линейно независимы тогда и только тогда, когда вронскиан W(z) :— Bi(z)B2(z) — B2(Z)B1(Z) отличен от нуля хотя бы в одной точке. Тогда он отличен от нуля для всех значений z (см., например, Коддингтон и Левинсон (1958); Тихонов, Васильева и Свешников (1980); Степанов (1958)). Первый и второй члены уравнения (2.76) описывают эволюцию пучка света, обусловленную эволюцией вселенной, третий член описывает сходимость пучка света, что связано с влиянием однородного распределения материи apF в пустом конусе, т.е. в той области, где нет неоднородностей. Рассмотрим решение D(zi,z) уравнения (2.76), которое равно нулю при красном смещении г; и производная этого решения относительно красного смещения удовлетворяет локальному закону Хаббла или, что эквивалентно тому, что инфини-

dD, „

тезимальная величина -г—dz равна инфинитезимальнои собственной длине dz

dDprop(zi) при значении красного смещения Zi. Тогда D(zi, 22) - расстояние по угловому диаметру пустого конуса от красного смещения Zi Д° Z2, описывается функцией r(zi,z), которая есть решение уравнения (2.76) с граничными условиями

^-r(zi,z)\mi = -- * ф„г)|,=„ =0, (2-77)

dz v (1 +zi)y/Qzi +1 "

тогда

D(Zuz2) =c\r(zuz2)\/Но. (2.78)

Общее решение дифференциального уравнения Дайера-Редера Общее решение этой задачи получено в работе Зайц и Шнайдера (199'1! Итак, следуя этой работе, получим решение уравнения (2.76) с начальні ми условиями (2.77). Заметим, что Дайер и Редер указали, что уравнея^ (2.76) может быть преобразовано к гипергеометрическому уравнению- ПРе образуем уравнение (2.76) к дифференциальному уравнению Лежандра, ^ которого можно получить решение при любых значениях 5 и О. 2 Pgggg УРавнетя шнзы
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 127 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed