Гравитационные линзы и микролинзы - Захаров А.Ф.
ISBN 5-88929-037-1
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство. Предположим, что существует сопряженная точка рс, такая, что VcX = 0, VcX = 0. Пусть ?(А)2>(А)ж = 0. Тогда такое поле Якоби удовлетворяет условиям ?с = 0, = 0, следовательно, ? = 0, и тогда ?(0) = 0, что в противоречии с условием ?(0) = 0^0.
Для получения разложений Тейлора для det Т>, в, а вблизи сопряженных точек рассмотрим дифференциальное уравнение V = TV. Используя свойства матричных функций Л и Г, получим систему дифференциальны* уравнений
К-TlA= -TT, T-TlT= -Т* Л, (2.34)
которая описывает два взаимодействующих плоских осциллятора с одинаковой собственной частотой и одинаковой абсолютной величиной взаимс действия. Вычисляя производную от уравнений (2.34), можно последовательно вычислить коэффициенты разложения Тейлора вплоть до (п + 2) порядка в зависимости от Ac, Tc, ActTc (для случая невырожденной сопр11* женной точки) или в зависимости от Лс, Гс (для случая фокуса). Нетрудн° показать, что имеется сохраняющаяся величина для системы дифферент* альных уравнений
? := к*А — AA* + Г*Г — ГГ*. (2-35)
Т.о., если величина С равна нулю при некотором значении А, то она равн3 нулю всюду для любого решения системы (2.34) при (Л, Г) Є C2 (если ^ г Я^опуравненш линзы
43
полагаем, что Tl, T Є C0). Т.к. С* = —то вещественная часть С пред дулЮї и величины Г и Л должны удовлетворять соотношению (2.30), ^величина ? = 0 для "физического" решения уравнения (2.34). Т.о., 1X3 „«и о- и в могут быть записаны в виде
веяичинь1 "
Ал'-Г'Г _ ЛГ* - ЛГ* — |Л|2 — |Г|2 ' " - |Л|2 - |Г|2 • (2'36)
Действительно, поскольку V = SV,то KV = А = Л[5]Л + Г*Г = в К - <тГ. Аналогично Г = -it*А + в*Т.
Поэтому имеем систему двух алгебраических уравнений для определения 6 и (Г-
А = 0Л-<тГ, Г * = 0Г — а А. (2.37)
Умножая первое из этих ургшнений на А*, второе на Г и вычитая второе уравнение из первого, получим выражение в через Л, Г и их производные, а умножая первое из ургшнений (2.37) на 7*, а второе на Л, получим второе из соотношений (2.36).
Ясно, что величина в действительна тогда и только тогда, когда C = 0. На самом деле, Xm в = 0 Xm [Ал* - Г*Г] = 0 Xm [С] = 0 С = 0. Т.о., можно получить разложения в ряд для величин в и а подстановкой в (2.36) разложений для Л и Г. Пучок света вблизи фокуса
Для вырожденной сопряженной точки, являющейся фокусом, имеем Ac = Tc = 0. Из ранее доказанного утверждения следует, что |Л|С = |Г|с = 0 (в противном случае Rg Vc должен быть меньше, чем 2). Из системы обыкновенных дифференциальных ургшнений (2.34) получим разложение Тейлора по малому параметру с в окрестности фокуса
Л(с) = еАс + сг(ПсАс - Tctс)/6 + O(Ci),
Г(с) = еГс + е3(7гсГс - Т*сТс)/& + O(Ci), (2.38)
поскольку, как следует из системы (2.34), Ac = Гс = 0, а из (2.34) получаем также, что
d3Ac/de3 = TIcAc - TeTc, d3Te/de3 = TlcTc - Т*САС. Т°гда, поскольку
л*(е) = єА* + е3(тгсА* - т:т*с)/в + о(с4), г* (с) = ег; + е3(тгс*г* - ТсТ*с)! 6 + O(Ci), ПОлУЧаем разложение Тейлора для якобиана
det 2>(е) = ЛсЛ- _ ГсП = |ЛС|2 - |ГС|2 = е2|Лс|2 +
+ t4(Ti*cA*cAc - т*ст*Х + тгсАсАсА:)/б-- е2|гс|2 + е4 (.FcA*fc + т*скст*с - nct*ctc - n*ct*ctc)i& + о(е5) =
=.е2 + CiTlcdet Dc/3 + 0(e5). (2.39) 44 Глава 2. Уравнение гравитационной лиц ^hl
Т.к. матрица T симметрична, то w[7] = 0, следовательно, Л[7~] = 71 ствительное число, тем самым, TZc — TZ*. Поскольку det Vc ф 0, то главдц член разложения det V(c) второго порядка малости. Из соотношений (2.3? следует, что
A(C) = Ac + c2(TZckc - ^сГс)/3 + о(е3), Г(е) = Гс + е2(тгсгс - JFc*fc)/3 + о(е3),
тогда имеем разложения оптических скаляров вблизи фокуса
0 = (1 + TZcc2/3) /е + 0(с2), a = TZcc2/3 + 0(е2).
Тогда из соотношения (2.22) следует, что
u>(e) = sign (det ї>с)|е| VI det ^<=1(1 + 0(с2)). (2.40)
Следовательно, функция w(c) непрерывна в фокусе, тем не менее, w(c) имеет конечный разрыв. Получим разложения Г и Л вблизи вершины, подставляя значения Г„ = Xm Av = О, TZe Av = 1 в соотношения (2.38). Т.о., имеем для функции W в вершине
w(c) = е(1 + 0(е2)), е > 0. (2.41)
Как уже было отмечено, оптические скаляры имеют одинаковую структуру в вершине и в фокусе, т.к. разложения для пучка света в окрестности этих точек отличаются лишь на величину det Vv = 1 и величину det Vc, которая сокращается в числителе и знаменателе выражений для 0 и и. За метим, что в низшем порядке (е-1) поведение величин 0 и а в окрестности вершины (фокуса) следующее: бесконечно малая окрестность такого события может рассматриваться асимптотически, как в плоском пространстве-времени Минковского. Тем не менее, в пространстве-времени Минковского справедливы соотношения 0(A) = 1/А и сг(А) = 0, которые справедливы дл" всех значений А, в частности, в вершине. В первом порядке члены в разложении для 0 и а указывают на то, что источник сходимости TZo < вершине (или фокусе) уменьшает расходимость пучка, и источник сдвиг3 создает скорость сдвига
0(0) = Toj 3. (2-42)
Тогда То = 0 <т(0) = 0, а из уравнения переноса векторов Сакса следуй что T= 0 # <т(0) = 0. Т.о., пучок света, "центром" которого являет6' кривая 7о, является бессдвиговым (т.е. сдвиг для этого пучка равен ну тогда и только тогда, когда касательный вектор к кривой 70 параллеЛе1 по крайней мере одному из четырех нулевых главных направлений, ч1'" возможно лишь в исключительном случае. И, следовательно, О ф 0.
