Гравитационные линзы и микролинзы - Захаров А.Ф.
ISBN 5-88929-037-1
Скачать (прямая ссылка):
|Л| + |Г| = 6і, |Л| - |Г| = 62, л = i(6i + ЬяУ", Г = I(6i - б2)е'(2*-в>.
Подставляя выражение для 61 и 62 через |Л| и |Г|, получаем, что вращение ш связано с углом вращения отображения Якоби Л/|Л| = е,в, и поэтому tg 0 = ш/т.
Следствия симметрии матрицы S
Следствие 1. Ранее было показано, что VtV = VtV или что w[VTV] =0, Рассмотрим вращение от VrV. Тогда
A[VTV] = Л[І>Т]Л[2>] + Г*[І>Т]Г[2>] = AtA + Г*ТГ.
Поскольку Гт = Г, то и Г*т = Г*, т.о., A[VTV] = ArA + Г'Г.Из соотношения u[VTV\ = 0 следует, что
Im [АТА + Г*Г] = 0. (2.30)
Соотношение (2.30) оказывается справедливым для любого значения аффинного параметра, в частности, в вершине и в любой сопряженной точке. Соотношение (2.30) показывает, что для решения уравнения (2.18) имеется не 8, а только 7 произвольных начальных условий для матрицы V. Следствие 2. Рассмотрим пучок света в интервале Л € [An,An+i], где T(A) = IZ(X)X1 т.е. рассмотрим область значений параметров, где сдвиг равен нулю. Тогда каждый компонент матрицы V удовлетворяет одному и тому же дифференциальному уравнению, и общее решение есть линейная комбинация двух линейно независимых решений /ид уравнения 'і = а именно,
V(X) = f (X)Vn+ g(X)Vn+u (2.31)
где V(Xi) = Vi, f(Xn) = g(An+i) = l,g(An) = /(An+i) = 0. Ясно, что gn ^0 (иначе g = 0), аналогично дп Ф 0 . Согласно теории уравнения Штурма' Лиувилля, функции / vig существуют тогда и только тогда, когда для еГС решения с начальными условиями хп = Ои х„ = 1 справедливо неравенств' Xn+1 ф 0. Это условие нарушается тогда и только тогда, когда An+1 An соответствуют паре сопряженных точек. Подставляя (2.31) в VrV * VtV и рассматривая эту матрицу при An, получим V^iVn = VTVn+i ' Т.о., можно сделать следующий вывод: если нет сдвига между значениям"?bTBQOуравнентшты_41
Го параметра An+i и An, то матричное произведение VT+lV„ -аффин" я матрица. Если одна из матриц (скажем, Vn) не вырождена,
гймметр» . _________________________________________________.____
чке An нет сопряженной точки относительно вершины, то свойство Т.е- • •>• — - - - -------
СйММе
т'е' Ве^рИИ может быть выражено как условие того, что матрица
ї>п+ії>п_1 (2.32)
мметрична- Действительно, поскольку Vn^lVn = PnPn+1, то, предпола-что Pn - невырожденная матрица, Pn+.i = VlVn^V . Транспонируя, получим Р„+1 = [D-l]Ti>l+lVn, т.о. Рп+іР-1 = [Рп+іР-1]7. Заметим что свойство симметрии матричного произведения (2.32) существенным образом использовалось Зайц и Шнайдером (1992) при доказательстве теоремы об усилении изображений в теории гравитационных линз. Отображение Якоби вблизи вершины
В вершине Л = Г = Г = Tm А = 0,Не Л = 1. Рассмотрим разложение Тейлора для отображения Якоби в зависимости от параметра є = А—А„ = А, обозначим То ¦¦= ТО. Тогда получим из (2.18)
V(e) = Te + T0e3/6 + O(e4), (2.33)
= То.
A=O
т.к. -D(X)U=o = О, = T(X)V(X) + T(X)V(X), то
Поскольку То - симметричная матрица, то сдвиг отображения Якоби вблизи вершины, по крайней мере, третьего порядка малости, а вращение выше третьего порядка малости. Другими словами, поперечное сечение первоначально кругового светового потока сначала деформируется в эллипс, а затем этот эллипс поворачивается. Более точно это утверждение выглядит следующим образом: если первый ненулевой член в разложении Маклоре-на для Г порядка еп (п > 0) в вершине, то ненулевой член и имеет порядок не ниже C2n (в общем случае для п = 3). Подставим разложения по є: гі = «не» + 0(en+1), Г2 = a2en + 0(en+1), т = є + 0(е3), и = є + 0(е3) в соотношение (2.30). Ясно, что
Im Л* Л = UT-TU = atm - mat"1 + 0(em+1),
Г = Гі + ІГ2 = naie"-1 + ina2en+ 0(en),
Г* = naie"-1 - таге""1 + 0(еп), Tm Г*Г = Ье2п + 0(e2n+1).
T
Главный ненулевой член ш имеет порядок не меньше, чем 2п, т.е.
™e W растет в окрестности вершины значительно медленнее, чем
• Этим объясняется то, что вблизи от наблюдателя пучок не мо-*ет бм-т-1
^2 ^biib вргццательно-доминированным, т.е. справедливо неравенство Гп ^ ^2' ® окрестности вершины T = t + 0(е3), и = at6 + 0(е7), то-Да e = arctg ш/т = е5 + 0(е ).42 Глава 2. Уравнение гравитационной лиц ^hl
Пучок света вблизи сопряженной точки
Пусть Ac - невырожденная сопряженная точка (т.е. det V(Xc) = О й V(Xc) ф 0). Тогда ' 0
|Г(ЛС)| = ^(011-022)= + (021+021)2 =
= +022)2 + («21 -a2i)2 = |Л(ЛС)| ф о.
Т.к. Л инвариантно относительно вращения, а Г не инвариантно, то мо*. НО ВЫбраТЬ СИСТеМу Координат Т.О., ЧТО Г(Ас) = A(Ac) В СОПрЯЖеННОЙ Т04. ке. В сопряженной точке, которая является фокусом, Г(АС) = Л(Ас) = О, Аналогично предыдущему, рассмотрим разложение Тейлора в окрестности вершины є := A-Ac. Проанализируем свойства, которые являются общими для обоих типов сопряженных точек. При исследовании локальных свойств пучков в сопряженной точке используем решения (2.18) и соответствующие начальные условия.
Тогда справедлива следующая теорема (Зайц и др. (1994)).
В сопряженной точке хс собственный вектор, соответствующий нулевому собственному вектору матрицы Vc, не может быть собственным вектором матрицы Vc. В частности, отсюда следует, что если сопряженная точка есть фокус, то Rg Vc = 2, а в случае, если сопряженная точка невырождена, то Rg Vc > 1.