Гравитационные линзы и микролинзы - Захаров А.Ф.
ISBN 5-88929-037-1
Скачать (прямая ссылка):
уравнение гравитационной линзы
2 і Векторные поля Якоби
пные поля Якоби рассматриваются в теории вариационного исчисле-я при анализе второй вариации функционала. Подробное изложение этих вопросов можно найти в монографиях Дубровина и др. (1986); Гельфанда фомина (1961); Алексеева и др. (1979); Волда (1984). Приведем необходимые сведения о полях Якоби, следуя Подходу Дубровина и др. (1986), поскольку изложение в данной монографии сочетает общность изложения данного вопроса и приложение теории к ситуации, когда экстремалями являются геодезические, в частности, геодезические пространства-времени ОТО. Известно, что если имеется задача нахождения экстремалей функционала, SM
%]= [ L(x,x)dt,
J-I
то необходимым условием того, что на кривой 7 реализуется минимум (или максимум) функционала Sfr], является то, что кривая -/ : х' = x'(t) удовлетворяет уравнениям Эйлера-Лагранжа
dL d дЬ дх1 dt дх1
В частности, известно, что если L = ^gij х'х-', то уравнение Эйлера-
Лагранжа для экстремалей совпадает с уравнением геодезической (см. например, Дубровин и др. (1986); Мизнер и др. (1977)).
Для нахождения минимума функционала 5 [7], где 7 удовлетворяет уравнениям Эйлера-Лагранжа, необходимо вычислить билинейную форму (вторую вариацию)
& г
+ + = G7Kl4) = G7(^)t (2.1)
и a=olji=o
где г/, ? - векторные поля, заданные на кривой 7(t), обращающиеся в нуль в
точках 7(a) и 7(b)- Справедливо следующее утверждение (Дубровин и др.
))¦ Если 7 : {х* = x'(t)} удовлетворяет уравнениям Эйлера-Лагранжа, то имеет место
соотношение ,2
Где
M3 =
Gi(i, п) = — -Jr^-Sb + + Air;] =- Г(Jijt3Wdt, (2.2)
a=olji=o ja
= ± (-*?-? + - - (2 3)
dt \дх'дхЗ ^ Oxiдхі J дх'діїS Эх'дх^ ' У >
3-2441 34 Глава 2. Уравнение гравитационной лиц ^hl
Линейный оператор J1 действующий на векторные поля ?(t), задали^ вдоль кривой 7, называется оператором Якоби. Рассмотрим случай, ^ гда уравнения Эйлера-Лагранжа совпадают с уравнениями геодезически^ Выберем действие в виде
/ь 1
-Qijx'Xj dt. (2.4)
Тогда справедлива Теорема (Дубровин и др. (1986)). Билинейная форц,, (2.2) для функционала (2.4) и любой геодезической 7 : {х' = x'(t)} имее-вид
П) = ~ ? (^U3 + i3iktlR)kl) T1mQimdt, (2.5)
или
G4(?, ті) = - Ґ < Jt, П > dt, (JOi = Vle + і3ікї'Щкі, (2.6)
J a
где Щи - тензор кривизны, t- натуральный параметр вдоль геодезической, Напомним, что если операцию ковариантного дифференцирования тензора T1(J)1 ((і), (_?) - мультииндексы) обозначать V, т.е.
VrfH=TfL. (2-7)
1W "-iW;*'
_ ----
то производная по направлению вектора ? = (?*) любого тензора типа равна (р, q)
Vf =tkVkT$. (2.8)
Введем следующее определение-, векторное поле ? вдоль экстремали 7 называется якобиевым, если оно есть решение уравнения Якоби ? = 0 и обращается в нуль на концах. В частности, для функционала (2.4) имеем
(Ji)' = Vki + XjXkZ1RUi = О, і = 1,п, (2.9)
или в координатах уравнение для Поля Якоби имеет вид
XkVk(XiVjti)хк?Rfjkl =0, i = l, ..,п. (2-Ю)
Это уравнение называется также уравнением девиации геодезических (см-1 например, Волд (1984); Мизнер и др. (1977)). Имеет место также следу щее определение: точки P и Q называются сопряженными вдоль геодезичс СКОЙ 7, идущей из P в Q, если существует ненулевое якобиево Поле ? ВДОЛЬ кривой 7. Укажем геометрический смысл определения сопряженных точе" (Волд (1984)). Грубо говоря, точки PnQ сопряжены, если "бесконечна« геодезическая" пересекает кривую 7 в точках PaQ- Например, северны» 2 2 выводУ?^еНИЯ линзы_35
Й ПОЛЮС для сферы в римановой геометрии являются сопряженны-И 10 ^j1mh каждой "широтной геодезической" (меридиана). Тем не менее, мИ что в определении требуется только существование поля Якоби,
--в нуль в точках P и Q , а не существование геодезической,
Зі
ашаюшегося
0^личн°й от 7 и проходящей через точки P и Q. И обратно, существование ° зической, отличной от 7 и проходящей через P и Q не означает, что р vt Q сопряжены и не означает даже, что существует некоторая
ТОЧКИ і " _
точка, сопряженная точке F и находящаяся между FaQ.
Некоторые теоремы о свойствах билинейной формы G7(?, г/) для случая римановой метрики gi3 приведены в книге Дубровина и др. (1986).
2.2. Вывод уравнения линзы
2.2.1. Введение
В настоящем разделе рассматривается вывод уравнения гравитационной линзы для достаточно общих пространственно-временных псевдоримано-вых многообразий. Изложение будет основано главным образом на работе Зайц и др. (1994). Следуя подходу, предложенному в этой работе, приведем вывод уравнения гравитационной линзы и получим доказательство теоремы об усилении изображений гравитационной линзой, опираясь лишь на формализованные (и вполне естественные) гипотезы.
Рассмотрим приближение геометрической оптики для уравнений Максвелла в пространстве-времени со структурой (М, gav?), причем локально плоская электромагнитная волна, распространяясь без взаимодействия с веществом, связывается с конгруэнцией нулевых геодезических, которые описывают световые лучи.
