Гравитационные линзы и микролинзы - Захаров А.Ф.
ISBN 5-88929-037-1
Скачать (прямая ссылка):
Hcl = -і1±?ІІДзФ(<). (2.57)
^ьіще были рассмотрены неоднородности, размер которых мал относитель-hX Расстояния до наблюдателя. Теперь ограничимся рассмотрением тех зю®ІХ' которые являются достаточно тонкими, так что волновой вектор и Ми векторы Ea могут быть заменены соответствующими значения-
iiPh красном смещении z(Xd). Используем приближение
<(А) » (Ci(Ad)1C2(Ad)1C3(A))
(2.58) 50 Глава 2. Уравнение гравитационной лиц ^hl
для лучей, которые, грубо говоря, параллельны лучу 70 при X(zd)\ откц0Н( ния лучей от направления, параллельного кривой 70, должны быть Majn4 также малы должны быть типичные значения угла отклонения, что связац с влиянием неоднородностей, в противном случае, приближение (2.58) 0ка зывается неверным. В соответствии с выбором системы координат, C1 1 ^ ортогональные координаты на экране. Поэтому можно ввести обозначен^ ? = (?1, ?2), тем самым, вектор ? задает метку луча в рассматриваемом се. мействе. Следовательно, уравнения (2.57, 2.58) выполнены не только дЛі1 бесконечно тонкого пучка в окрестности "центрального" луча, но и дЛя любого другого луча в окрестности V, который, грубо говоря, параллели лучу 7о в точке Xd. Источник сдвига
Вне неоднородностей рьд = ot?F пренебрегаем источником сдвига, обусло-вленного влиянием сгустков, т.е. пренебрегаем дальним влиянием гравитационного поля слабых неоднородностей и будем считать, что (вне неоднородностей ) T = 0. В неоднородности оценим величину Т. Для этого пре-образуем координаты (х°,г,в,ф) в координаты (х°, Ci, ?2, Сз)- Напомним, что Сз-направление выбрано т.о., что это направление параллельно пространственному направлению "центрального" луча. Т.к. нормализация всех векторов остается инвариантной под действием преобразования координатной системы, и т.к. в локальном пространстве-времени Минковского норма строится с помощью метрики г) = diag(l, —1, —1, —1), необходимо заменить метрический тензор д на тензор г/ в соотношениях (2.52, 2.53) и тогда получим
ka(zd) =(1 + 0,0, -1); Ei (zd) = (0,1,0,0); E2Q(zd) = (0,0,1,0). (2.59)
Тензор Римана с учетом поправок гравитации к пространству-временя Минковского равен следующему выражению:
Rijki = -^{бікФ.зі-блФ.ік -6«Ф,3к +83,Ф,ік}. (2-60)
Т.о., из соотношений (2.58, 2.59) следует, что ненулевой вклад в источник сдвига имеется только тогда, когда і, А; Є {1, 2} и j,l Є {0,3}, и имеете« только 16 ненулевых компонентов тензора Римана. Предполагая квазистационарность метрики Ф,о <С Ф,і, получаем, что в низшем порядке малости по v/c имеется только 8 ненулевых компонентов тензора Римана, дают"' вклад в величину Т, а именно:
AlOlO = — R1020 = A2010 = — A1313 = ~ ^(Ф,33 +Ф,1і),
R2020 = —\ф,22, A1323 = A2313 =--~Ф, 12, ?2323 =--+ Ф,22)-(2-^
c2 c2 c2
Подставляя Фдг = Ф,2і, (2.61) и (2.59) в выражение (2.16), и использУ* (2.58), имеем
Tci(?; А) = і(1 + г)2(Ф,ц -Ф,22 -2ІФ,2І)(^;Сз(Л)). (2.62' оптическая приливная матрица вдоль семейства лучей, пересекаю-
Т<эгДа мпт0тИчески плоскую окрестность события Xd, локализована в сла-
IU0x метрически тонком сгустке в усредненно фридмановской вселенной
б°м о пространственное направление лучей, грубо говоря, параллельно
^направлению; Т(ї, X) = %g(z) + Tc(A), где %g(z) = Hbg{z)I, и цз
{ТыЫЪ А) = -1(1 + г)2(2Ф,ік + Cs(A)). (2.63)
Q едовательно, оптическая приливная матрица относительно просто связана с обычной приливной матрицей, т.е. матрицей вторых производных ньютоновского потенциала. В соотношениях (2.62, 2.63) ? значение экранного вектора луча, рассматриваемого при Ad относительно одного выбранного луча то семейства; Сз-направление координатной системы, параллельное лучам в точке Xd, отсюда, с учетом (2.50),
dCs = (1 + z)dX. (2.64)
Если рассматривается отображение бесконечно тонкого пучка, то необходимо в соотношении (2.63) положить ? = О. 2.2.5. Приближение тонкой линзы
Одним из основных, упрощающих изложение теории предположений, лежащих в основе теории гравитационных линз, является предположение о том, что неоднородности являются геометрически тонкими. Тогда считаем, что распределение массы неоднородности может быть аппроксимировано поверхностной плотностью массы Е. Рассмотрим распределение, расположенное на "плоскости" Сз = 0:
М*.<з)»*Кз)Ц0. (2-65)
где
/+oo
dCsMtCs). (2.66)
-oo ,
Ньютоновский потенциал этого распределения определяется следующим
соотношением:
?(?,6) = -G [ (2.67)
J v(? - V)2 + Сз2
Роизводные Ф,і*,Ф,зз, которые имеются в выражении для приливной ма-^ицы (2.63), убывают обратно пропорционально третьей степени расстоя-Ho °Т Плоскости, где находится неоднородность. Т.о., можно приближен-Эаписать для оптической приливной матрицы сгустка материи:
/+oo
гы(*;Сз(А'))<*А'. (2.68)
•оо 52
Глава 2. Уравнение гравитационной лиц ^hl
Потенциал отклонения
Потенциалом отклонения Ф(?) называется величина
(2.69)
В подынтегральном выражении знаменатель в выражении для логарифм,, есть произвольная величина с размерностью длины (для того, чтобы ве.ц, чина, стоящая под знаком логарифма, была безразмерной). Эту величину выберем равной так называемому расстоянию по угловому диаметру цу стого конуса (Вейнберг (1975)), а именно, Dd := D(zd), т.е. расстоянию 0-наблюдателя до объекта, соответствующего красному смещению Zd. При изменении этого масштабного коэффициента с размерностью длины вели-чина (2.69) меняется лишь на несущественную аддитивную константу. И3 непосредственного вычисления следует, ЧТО функции Ф И E связаны друг с другом уравнением Пуассона для поверхностной плотности массы
