Гравитационные линзы и микролинзы - Захаров А.Ф.
ISBN 5-88929-037-1
Скачать (прямая ссылка):
55
Заметим, что если Hi(г) и R2(Z) - два линейно независимых реше-лия уравнения (2.76), то решение, удовлетворяющее начальному условию
(2.77)
имеет вид
° WW + «о Vi + о*. [Ді(г')Д2(г) - Р-79)
где W(z) = RiR'2 ~ R'iR2 - вронскиан уравнения (2.76). Из формулы Остроградского-Лиувилля для ургшнения Дайера-Редера (Федорюк (1980); Самойленко и др. (1989)) получим, что
или
Ж(г) = С/((1+г)зУГТ01), (2.80)
где константа згшисит от выбора решений Ri, R2. Из соотношений (2.79) и (2.80) получим
r(z„z) = С( 1 + z,)[Ri(Zi)R2(Z) - R1(Z)R2(Z1)], (2.81)
откуда имеем
\r(z„z)\/(l+z,) = \r(z, Zi)\/(\ + z), (2.82)
версию закона Этеринттона для данной космологической модели. Далее рассмотрим случай 0 < Zi < z. Вначале разберем случай 0 < Q < 1. Производя замену зависимых и независимых переменных, где
получим для функции f(y) дифференциальное ургшнение Лежандра
2yI+h+- A] /=(2-84)
cO значениями параметров
ц = 2-, и = (? — 1)/2, ? = n/25 - 24(5. (2.85)
Два линейно независимых решения ургшнения (2.84) называются присоединенными функциями Лежандра первого и второго рода Р„(у) и Qt!(у) со-Ответственно (Абрамовиц и Стиган (1979)), если только не выполнены ра-8®нства и = 0 или v = 1. И если a Ф 1 и a ф 2/3, то
г(*"г) " -»к,-Mbff=Il - «М«<.>1 P-) 56
Глава 2. Уравнение гравитационной лиц ^hl
где yi = y(zi). Можно получить также выражения присоединенных фуНк ций Лежандра через гипергеометрические функции, для которых есть удобные для вычислений интегральные представления. А именно, используя соотношения о связи присоединенных функций Лежандра и гипергеометри_ ческих функций (Градштейн и Рыжик (1971)), имеем
r(z„ z) = 2(1 + Zt^Vl(Zt)V2(Z) - Vl(Z)V2(Zt)], (2.87)
где
к,M = «<¦ + п,)-<>»»<F («±I, ё±1: I^L) ,
где F(а, Ь; с; z) - гипергеометрическая функция (Уиттекер и Ватсон (1963); Гобсон (1952); Абрамовиц и Стиган (1979)). Хотя вывод выражения для уравнения Дайера-Редера основывался на ограничениях 0 < Q < 1, a ф 1 и a ф 2/3, можно показать, что конечный результат может быть распространен на случай Q = Ind = 2/3 или в = 1.
Пусть a = 1, тогда ? = 1, и для решения уравнения (2.84) имеем выражения (Абрамовиц и Стиган (1979))
\/1 + Oz 2 — Q +Qz
yM = WTW' v^ = WTW-- {2Щ
Пусть a = 2/3 (? = 3). Тогда для решения уравнения (2.84) имеем выражения (Абрамовиц и Стиган (1979))
Уі(2) = ЩГТ^' Щг) =-3Q(i + z)2-¦ (2'90)
Пусть Q = I, тогда F(a, Ь;с;0) = 1, и для решения уравнения (2.84) имеем следующие выражения: •
V1(Z) = (1+г)-("+5)/4, V2(z) = i(l + z)("-5>/4. (2.91)
Заметим, что решения для случаев Q = Ona = O можно легко получить поскольку тогда уравнение Дайера-Редера сводится к уравнению первого порядка.
Для случая Q > 1 преобразуем независимые и зависимые переменны6 следующим образом:
1 + Qz / Q-I \5/4
0(1 + z)'
(-<Ы_У/ (2.92)
V 0(1 + z)J h ^ о вывод уравнения линзы_57
____¦_____ ' ^ "
f(y') удовлетворяет дифференциальному уравнению Лежандра (2.84) значениями констант /і = /3/2, v = 3/2. Аналогично тому, как был рассмотрен случай Q < 1, получим
9 г(^) 1 1 (і + *.)1'* +
где s/i = y(z,)> ^(2O ~ гамма-функция Эйлера (Уиттекер и Ватсон (1963)). Используя соотношения о связи присоединенных функций Лежандра и ги-дергеометрических функций (Градштейн и Рыжик (1971)), получим
r(z„ z) = 2(1 + z,^Wl(Zi)W2(Z) - Wi(Z)W2(Zt)], (2-93)
ГДЄ
H4,.,. +(1±г, A=is ^?).
Можно показать, что пары функций, соответствующих выражениям (2.94) и (2.88), являются аналитическими продолжениями друг друга. Действительно, можно показать, что (Абрамовиц и Стиган (1979))
V1(Z) = G11W1(Z)+ G12W2(Z),
V2(Z) = G21W1(Z) + G22W2(Z), (2.95)
где
11 U-W Г(2±І)Г(іЬі
(^У
„ _ r>-(p-i)/4 г (^2^) ^ со ой\
°12 - а Г (*=*)' ( }
а -1Q r(W(i)
21 - д»(/9-1)/4
г г (зіШіУ
а22 = I0Uh4/* (Г(^)ГН) /з 1/ r(5-j3)r(-|g4+3)V
Mo:
жно показать также, что аца22 — Cmai2 = 1 (Зайц и Шнайдер 1993). Получим решение ургшнения Дайера-Редера для случая, когда величи-на 0(1-(}^ не мала относительно единицы, т.е решение ургшнения Дайера-едера, линеаризованного в неоднородности. Вновь запишем ургшнения
маиера-Редера в виде
(1
+ 2)(1 + o*)g + (з + ? + Ia2) * + |йг = |(1 - «)йг. (2.97)
59 Глава 2. Уравнение гравитационной лиц ^hl
Сделаем подстановку
r(zi, z) = п (г,, г) + (1 - a)p(zi, z),
(2.?
где гі(гі, z) - угловой диаметр в единицах с/Но в гладкой фридмановск0( вселенной, т.е. для a — Подставляя (2.98) в (2.97) и пренебрегая членац порядка (1 — й)2, получим уравнение для p(z,, z)
(1
+ z)(l + Oz)^? + (з + 0 + |oz) l(1 " й)°Г1(г"
с начальными условиями для функции р
р(г"г,)=о' S
2)(2.991
(2.100)
поскольку функция r(z,, г) удовлетворяет тем же начальным условиям, что и функция ri(zi,z). Уравнение (2.98) может быть решено методом функции Грина (Степанов (1958)), поскольку решение однородного уравнения, соответствующего уравнению (2.98), известно (2.89). Т.о., получаем
dxn(zi,x)G(z,x),
(2.101)
где ri(zi,z) определяется соотношениями (2.36) и (2.89), а для функции Грина имеем следующее выражение:
