Макроскопическая гравитации - Захаров А.В.
ISBN 5-8037-0053-3
Скачать (прямая ссылка):
Na(q,p) = jr f dsS^q'-q^S^pj -P1P(S)). (2.10)
(=1 J
Функции qJjj и p'p в (2.10) определяются из уравнений, получающихся из (2.2) заменой (2.8) (р% = я':'Pj )'¦
Ці) _ P(I) dpf _ 1 ( k
Здесь
Аь- = gki - UkUi; Щ = -
—разность символов Кристоффеля второго рода для метрик д^ и gij. Вследствие (2.11) функция TVa(</,р) должна удовлетворять следующему уравнению Лиувилля:
dq
или ввиду тождества
J(PiNa) + ~ [(Г;,,-* - Sl?kAmi)p*pkNa
= 0
уравнению
pW + r^pipW = і (ЧИ-^*') • <212>
Отметим, что функции Na и Na связаны следующим образом:
Na(qJ) = J^Na(q)P). (2.13)
да*
Уравнение (2.12) можно получить и непосредственно из (2.5) после замены переменных (2.8) и (2.13).
Переходя в (2.3) к импульсам pi и функции Na , получим
Г* = Ec/ -^=0^(4,Pa), (2.14) 120
ГЛАВА 2. Макроскопические уравнения Эйнштейна
где d^p/y/^g—инвариантный элемент объема в невозмущенном импульсном пространстве.
Для дальнейших целей уравнения Эйнштейна удобнее переписать в виде
Rij = X (gik9jm - Tflijdkrr^j Tkm,
или с учетом (2.14) и тождества
Rij = Rij + VmQ^ - VA + Qmn^ -
(здесь Rij —тензор Риччи риманова пространства с метрикой gij , Vm—ковариантная производная в этом пространстве), в виде
Rij + Vm^ - ViQ- + - Sirnin =
= XC^I jJ=a^9 {яікЯіт - tfijSkm) VkumNa{q,р). (2.15) Представим левую часть уравнений Эйнштейна (2.15) в виде
fy + flgJ + Ag) + ...,
где R^—сумма всех членов первого порядка по hij , R^—сумма всех членов второго порядка по hij , и т. д. В частности,
R^ = VmQ^m-VjQ1^m1 (216)
= VmQ-|'m - VjQir + QmimQ1-j)n - Qj1JmQjT, (2-17)
где
N = \аті (-ViZlij + Vihlj + Vjhli), (2.18)
ng» = -x-hml (-Vthij + Vihlj + Vjhli) = -Ift-Qd)'ij. (2.19) Выражение
L9ik9jm - ^9ij9km J ,
стоящее под интегралом в правой части (2.15), также разложим по степеням h:
«vf (9ik9jm - ^9ij9km^j = 9ikgjm - ^9ij9km + L+ ^iJim + ' ' '
(2.20) 2.1. Гравитационные взаимодействия
121
В частности,
lI1L = (^^Г + h^St) (Яік9зт - Idijdkm^ +
+ hik9jm +9ikhjm - ^hijQkm ~ ^dij^km• (2.21)
Усредним (2.15) по траекториям:
RiM + (Rjj-iW) + (RSHh)) + ... = Y^xcj ^=W(gik9jm-
- \д^т)ркит + TfXcJ ^L{NaL^km{h))pkum + ¦¦¦ (2.22)
Введем одночастичную функцию распределения [5 ,72]
fa(q,p) = ( [ -р-(0(«))> = ±(Na), (2.23)
J **а
и перепишем (2.22) в виде
RiM + (R^Hh)) + (Л§>(А)> + ... = yExcJ jJ=Kafa («Iik3im-
\9ij9km)phUm + E^c/ J=(N^mmpkUm + ¦ ¦¦ (2.24)
Ввиду линейности R,\j\h) по h имеем (R(/i)) = 0. В результате приближенные макроскопические уравнения для усредненной метрики д^ , учитывающие члены второго порядка малости по взаимодействию, принимают вид
Rij + Ay = x(Tij - (1/2)T9ij), (2.25)
где
т0' = Х>«с J ^Lp'V/efa.p)
—макроскопический тензор энергии—импульса,
А.І = (Щ]) -EvJ J=(^kmPmuk. (2.26) 122
ГЛАВА 2. Макроскопические уравнения Эйнштейна
Выражения для R^V и L^m можно получить из (2.17)—(2.19) и (2.21).
Вычислим hij внутри области, определяемой радиусом корреляции и соответствующим временем корреляции. Предположим, что усредненное гравитационное поле, создаваемое частицами, так же как и функцию распределения, можно считать постоянным внутри области корреляции. В этом случае под дij внутри области корреляции можно понимать метрику Минковского.
Для получения макроскопических уравнений с требуемой точностью достаточно подставить в (2.26) значения hij , полученные из линеаризированных уравнений Эйнштейна. При наложениии калибровки Vi 7и = 0, где
Из = hij - ^hgijl h = gljhij, линеаризированные уравнения Эйнштейна принимают вид [74]
?у; = _ ^xmbC2 f dVftofayoKUi (2-27)
6 J
где Фь = Nb - nbfb,0 = ^uVlVj, поднятие и опускание индексов здесь производится С ПОМОЩЬЮ метрики Минковского gij .
Дальнейшие вычисления не имеют ковариантного вида, однако все ОНИ проводятся С целью определения компонент тензора Aij в некоторой точке (q) в выбранной системе отсчета, в которой gij{q) = rjij — тензор Минковского. Не представляет труда записать окончательный результат в ковариантном виде, что и будет сделано в последующем.
Воспользуемся тождеством
Фь(л,Ч,р!) = Щї/A'/d3ke-ik^4b(V, q'.pj). (2.28)
Здесь rj—временная координата, q =(q1,q2,q3)—пространственные координаты. Подставим (2.28) в (2.27) и будем искать решение уравнения (2.27) в виде
lij(v, q)= ЩїЕ J d4P'J d^J
6 (2.29) 2.1. Гравитационные взаимодействия 123
Для получим уравнение
(іь*У + кЧ = -2xmbC2u'iu'jb$b(riU *Wb), (2-30)
где штрихи в левой части над 7^ обозначают производную по rj, а Ar =| к I. Решение уравнения (2.30) представим в виде
= ? dffSinfctf-TlWWfabW,*,р'ь)-
(2.31)
В результате для Yj имеем результат
Yj(TJyCi) = 1 dV/ dV/d3k f ^",k(q"q/)x
Х7^(г7,г//,р/,к)Ф6(г/',а/,р/), (2.32)
где
7g,(i?,i/y,k) = ^^u'Wismkirf - rj). (2.33)
Для
M»7><l) = 7»i - 2 Wi >
где 7 = 7»j > имеем
Лу(ч.ч) = E / dV / rfV/ Л fjv'e-^-Vx
xhtf (TlWWbWbW,* Wb), (2.34)
fcjJWy.k) = - sinfc^ -
Вычислим также величины
