Макроскопическая гравитации - Захаров А.В.
ISBN 5-8037-0053-3
Скачать (прямая ссылка):
После громоздких, но несложных вычислений получаем для величины ЩкР*{а)Р\а)следующее выражение:
V
= Ej WiЬ) j A'/ d\ I drj'x 6 »0 102 ГгПАВА 1. Кинетические уравнения в ОТО
X $b(»?'q,,p,(b))exp(-ik(q - q')), (1-325)
где Д&> = ^m7 - u}a) = «(в)(ч). «?) = "^6)(7?').
3
u(e)u(b)= E «(в)и(ь);
^^-^'^(^О.к^Р^Д^ = - Ча)«(а)||) X+ + ^6, _ и(а) ("(W) -"WIlW) у + u(«)uOe)Z; (L32e)
* = ЩгМ2™ьс2а*(г,){ - ±.(r,2S" - QriS' + M)(«?.)a(i.fo)a+
+^W - т«и)2Ы)2 - §^«в))2Ып)2+ +^2<4)u(«>llK<.))2 - |^«?.,«(б)||(Кь))а+
+ ("C))2) + (?4 U(a)«(a)ll(("(6))2 - 3(U(6)||)2)-
1 1 k2rj'e і
-—k2vv'u0{a)u{a)n(um)2 - YQ-^-«(0)W(a)||(W(6)||)2 - QjtW-
-2S){u(a))2(u\b))2 + ^(«(а))а(«(6))2 + JtV(«<.))2(«(6)||)2 +
+ ^*V«(«(.)||)2(«(6))2 + ^'*»?>(«)||)2(«(Ь)||)2+ + - 3(«(6)||)2 +^(^-l) ("(6)11)2]-
~2 (? u°°)(u(a)u(6) ~ u(°>llu(b)ll)u(6)ll~
"И?)-hW'" ^l+ 1.4. Уравнение в мире Фридмана 103
2
+
(rIl \ з 3
Vfl ) " + A5W^ c0sffc^ ~ ^К«)^)!!^«-)-^-
-^3 [(fc2W' + !) 8Ч*(»? - »?')] + *(»/ - ч) сов[*(Ч - V')]] X
Х [(и(а)«(Ь) - "(а)||«(Ь)||)2 - ^((«(а))2 + («(о)||)2)(«(6)J.)2]};
У = (2??(ra«c)Jm»c2e2(4){ - ^4(1^' - 4<Ш<))ЧЧ)х-
г'Л 1
ikf]'4
+-?^-((u(«))2 + ^и^О^ть^--2 (^) «(в)в(в)ІІи(ЧІІ«(Ь)А + j5j*V(«<«)||)a [**»/«(Ь) +
+8 (1 - uWII + *V2 (1 - uWIl]uWX-
х«(а)((и(в)И(6) - И(в)||«(Ь)||)«(Ь)1 + +2^3 [(* V + 1) Sin[fc(^ - ,/)] + *(./ - Tjj cos[fc(i? - I7')]] X
XW(a)||(U(0)U(6) - «(e)||«(6)||)tl(6)l};
Z= х
(2тт У
-(ш0с)2шьс2а2(ч){ - ^(V2S'" - 4vS")(u°{a))2(u°ib)f+
+ вїї^Нїі'Кь))' * 12^' + 2<J)(^a))2(U(6)„)2 - JLtf*" _ 4t)6'+ +2*K.)«<.)||(U(6))2 + - A)«?e)ti(e)||(«(6))J- 104 ГгПАВА 1. Кинетические уравнения в ОТО
ik
-JV <Ju(e)«(a)||(«(b)||) + 3*»?'u(a)«(a)||(W(b)||) ~
~бЩ(Г}26" - 5T}S> + 4<J)(««»))2(U(6))2 +
+ 3^(^' - 2<J)(«(e))2(«(6))2 - ^<J(U(a))2(«(6)||)2 +
+f (? («(a))2(«(6)||)2 + ^V(VS' - 26)(u{a)nf(u°b)f-
-1-Щп{а)ПптГ - I (^4 (и(аШ)2(Ы)2 - 3(u(6)||)2)-
1 1 fc37i/6 "lo*V(«(e)||)a(«(6)||)J + 6O-^4-(u(a)||)2(w(6)||)2-
-2 (^) Ыи)2Ы)„)2 + ^a)(uwu(b) - W(a)||«(b)t|)W(6)-
1 Г Т)/3 1
-3ib?Vu°0)U(6)"+ u(°)iiu(")J (u(«)u(") - u(«)llu(")ll)-~H v) K4" ^+fcV2 (l-^IWuhuw-
-«(a)||«(b)||)U(b)|| - [^2 (1 - 3^ - 8ial*(4 - Ч')] + (^) [l-
+иУ «w, WM] [H))2
+ ^(uHIl)2) (tiWJ-)2 + (U(a)U(6) - «(a)||W(6)||)2] + Щ4 [(*V + I)*
X sin[*(ij - ij')] + k(i)' - ij) cos[fc(ij - ij')]] ^iju^a)u(a)||(u(b)J.)2+
+2((«(a))2 - (w(a)||)2)(w(6)j.)2 - 4(u(0)u(6) - U(a)||«(6)||)2] }• Для нерелятивистских частиц, когда V2 -с 1 , где V2 = J2va,
а
va = Ua/uo, выражение (1.326) значительно упрощается: 1.4. Уравнение в мире Фридмана 105
_б7?(*' + QS) - ^(ф' - 2S)v(a)ll + ^i?2A((t;(a)||)2 - Ыц)2)+ 1
+ 30* V (2 + 3? )у(афт|)2+
+
т?/5\
^bJ V(a)\\(V(b)\\)2
^('-JJiwiwI-
і
60
- ( V^ - у «(Ц||) [ - ^vivS' - 4(J) + t^T12Svm + jV2Sv{a)\\-
Ik2T)'4 1 2 /21 \2
-^.-^(1-^)(^,,,)4*!]}- (1"327)
Здесь
к7 tili 4i = y»» = -so-
1.4.5 Кинетическое уравнение
Подставим (1.325) в (1.262):
= d^-T, J d%)J rfV / ^k / ^7?' exp[—ik(q — q')] X
X ^(V, v',P[b)Mp[a)PTa)^)N^V, Ч,Р(а))ФьЫ, я!,Р\ь))- (1-328)
Ниже совокупность всех переменных (r/,q,p) будем обозначать через X , а аналогичную совокупность (ту7, q',//)—через ж'. Импульсы переобозначим просто как р', р"(с) —через р" , р(а) —через P-
Усредним (1.328) по совокупности систем [5]:
„гдЩх)) <J,d(Na{x)) _
р +r^p —дїГ - 106
ГгПАВА 1. Кинетические уравнения в ОТО
= ^EfwJ d\'j d3к J </т/ехр[—ik(q — q')]x
д_ dpi
X
X ?fi,6)(4, ff,i/, к)р1ртА^(Ма(х)Фь(х')). (1.329)
Умножая (1.328) на Фб(я') и усредняя, получим
Р*-^(Ма(х)Фь(х')) + TjiikPiPk ~(Ма(х)Фь(х')) =
dqi
= ^T E / rfV'/ A"/ d3k J drj" ехр[—ik(q — q')] х
dpi
X к)р'ртД5:)<ЛГа^)Фь(х')Фс(:с,,)>- (1-330)
Уравнение (1.330) есть уравнение на второй момент (Na(x)Nb(x')). Заменой a f* b,x f* х' в (1.330) можно получить другое уравнение на этот момент.
Введем одночастичную, двухчастичную, трехчастичную и т. д. функции распределения:
6(х - xa(s)) = б\д< - qi(s))S4(Pj - рЦ»)).
Для моментов случайных функций справедливы формулы (1.226)— (1.228).
Учитывая связь Na с Фа (Фа = TVa - nafa) и имея ввиду, что fa не случайная функция, нетрудно получить выражения для средних
(Ма(х)Ф ь(х')), (Ма(х)Ф ь(х')Фс(х")). 1.4. Уравнение в мире Фридмана
107
Подставив (1.226)-(1.228) в (1.329), (1.330) и аналогичные уравнения, получим бесконечную цепочку зацепляющихся уравнений на функции распределения fa, fab) fa.bc И Т. Д.
Для получения кинетического уравнения на функцию распределения fa с точностью до членов второго порядка малости по взаимодействию оборвем цепочку, полагая
fab(x, Xі) = fa(x)fb(x') + <7аб(*, Xі), (1.331)
fabc(x,x/}x,/)^fa(x)fb(x/)fc(x").
В результате имеем приближенную систему на fa(x) и даь(х,х') при
Па » 1:
=«і**!*]«*
6 Чо
X exp[-ik(q- qOl^W.^jV^W,*'). (1-332)
«о= ? / W f-V*
V
х/л/d»7"eXp[-ik(q-q")]?fib)('?-'?"-P".k)p'PmA^x
Vo
X fa{x)fb{x') J ds"&{z" - xb(s"!x')). (1.333)
