Макроскопическая гравитации - Захаров А.В.
ISBN 5-8037-0053-3
Скачать (прямая ссылка):
= J dr,d_ J^ jHa{ffb
Vo Vo Vo
xtf?HvW,))рт(^(г})х ¦ a
ik j viifrW+ »'к j v'|\W')dv"
X exp 1.4. Уравнение в мире Фридмана
113
Теперь вновь воспользуемся результатом (1.343) и придем к выражению
X (rnac)2(mbc2)2 kak?
4(2тг)2
Jfc4
V / V \
Jdrexp l«k|[v||tf')-v/|,(7'W •
Vo
Аналогично вычисляются интегралы от второго слагаемого в фигурных скобках под интегралом (1.341).
Для интеграла столкновений получаем следующее выражение:
J? = macT2° =
nab _
2 G2
^^(mac) J d*p' j d3k J dr
kgk? к4
X ехр
т
гк J ^,(/Л-^Ю)^"
(1.344)
Это выражение полностью совпадает с представлением интеграла столкновений, приведенным в [59].
Если L = \n((v)t/rm[n) > 1, то из (1.344) следует окончательный результат работы [59]. При не очень больших значениях аналога ку-лоновского логарифма L ~ 10 -г- 100 окончательное выражение для интеграла столкновений получено в [65] и имеет вид:
Т»а6 _
/V -
G2ml
х M dF'b
(1.345)
где M = 5 — 2 С, С ~ 0,577—число Эйлера, wa = v'a—va , w =| w | — длина трехмерного вектора w, Fa = Fa(q',p^), Fb = Fb(q',]/^),
Lab = In
/ A(v2)3t2 \ \G*(ma + mb)*)
—аналог кулоновского логарифма.
Этот же результат мы получили во втором параграфе формальным обобщением результата для нерелятивитской плазмы на систему гравитационно-взаимодействующих частиц. Глава 2
Макроскопические уравнения Эйнштейна
Идея макроскопического описания гравитации может быть рассмотрена как расширение идеи Лоренца [78], который сформулировал электродинамику на двух уровнях: микроскопический и макроскопический. Лоренц показал, что электродинамика Максвелла является макроскопической теорией электромагнетизма и уравнения Максвелла могут быть получены из системы микроскопических полевых уравнений, называемых ныне уравнениями Максвелла—Лоренца, путем усреднения последних по физически бесконечно малым пространственно-временным областям [78], [79]. Известно также, что уравнения Максвелла для сплошных сред могут быть получены также из микроскопических уравнений Максвелла—Лоренца посредством статистического усреднения по ансамблям [69].
Уравнения Эйнштейна, правая часть которых содержит тензор энергии—импульса среды, являются феноменологическими уравнениями. Естественно предположить, что уравнения Эйнштейна (или их обобщения) в среде также могут быть получены путем усреднения микроскопических полевых уравнений Эйнштейна, т.е. уравнений Эйнштейна, в павой части которых присутствует сумма тензоров энергии—импульса отдельных частиц. Однако ввиду нелинейности левой части уравнений Эйнштейна проблема усреднения микроскопических уравнений Эйнштейна намного более сложна, чем проблема вывода макроскопических уравнений Максвелла в специальной теории относительности (см. [70], [71], [80]—[82]). 115
В 2.1 был развит метод усреднения по ансамблям микроскопических уравнений Эйнштейна для системы самогравитирующих частиц. (При этом была использована процедура усреднения введенная Климонтовичем (см. [5]), при выводе релятивистского кинетического уравнения для плазмы. Эта же процедура была использована в первой главе данной монографии при выводе релятивистского кинетического уравнения для случая электромагнитно взаимодействующих частиц и для системы самогравитирующих частиц в общей теории относительности с точностью до членов второго порядка малости по взаимодействию.) Данный метод позволил получить макроскопические уравнения Эйнштейна для системы самогравитирующих частиц с точностью до членов второго порядка малости по взаимодействию.
Полученные макроскопические уравнения для системы гравитационно взаимодействующих частиц оказались отличными от классических уравнений Эйнштейна благодаря появлению в левой части дополнительных слагаемых, обусловленных взаимодействием частиц. Эти члены представляют собой симметричный двухвалентный бес-следовый тензор с равной нулю дивергенцией. Они представлены в виде интегралов в импульсном пространстве от выражений, содержащих одночастичные функции распределения. Дополнительные члены пропорциональны кубу постоянной Эйнштейна, но пропорциональны квадрату плотности вещества. Последнее означает, что эффекты взаимодействия могут оказать значительное влияние на вид макроскопических уравнений Эйнштейна только в системах с достаточно высокой плотностью вещества. Такие плотности могут достигаться в плотных объектах, близких к состоянию гравитационного коллапса или на ранних стадиях расширения Вселенной.
Однако на ранних стадиях эволюции Вселенной доминирующими являются не гравитацонные взаимодействия. В частности, на радиационно-доминированной стадии эволюции Вселенной доминирующими являются электромагнитные взаимодействия в космологической плазме.
Поэтому 2.2 посвящен выводу макроскопической системы уравнений Эйнштейна—Максвелла в релятивистской плазме, в которой доминирующими являются электромагнитные взаимодействия.
Макроскопические уравнения Эйнштейна для плазмы также отличаются от классических уравнений Эйнштейна благодаря появлению в левой части дополнительных членов, обусловленных одновременно как электромагнитными так и гравитационными взаимодействиями. Дополнительные члены также представляют собой двухва- 116
