Макроскопическая гравитации - Захаров А.В.
ISBN 5-8037-0053-3
Скачать (прямая ссылка):
О
Л«« = AW-= Zi6
(1.292)
(1.293)
(1.294)
Подставляя (1.287), (1.291), (1.292)-(1-294) в (1.284)-(1.286) и приравнивая в левой и правой частях уравнений (1.284)—(1.286) коэффициенты при линейно независимых пространственных тензорах
oS<*? -
kak?
ka Q/ k? , Tb b? + -rb ¦
boa
Q'l?
и при независимых векторах ka, S1boc, получаем три независимые системы уравнений для скалярных, векторных и тензорных возмущений.
1. Скалярные возмущения
a'2 a' Io о!
-6—Pb - 2г—кфь\\ + -к+ h) + — А*б+
CL CL о CL
+ + ЗР + 15Д)рь + (е-P- 5Д)^ь] = Х"іьс2(«'°)2Фб, (1-295)
,'2
'a2 a2 J
-і—кірь - + ІЩи'ь + А&)~
CL CL О
- \а2(Р + 5A)Vb|| = -хтьс2и'°ьи'ьцФ6,
/2\ „/ J
(1.296)
(3*? + мь) + ~{3<р'ь - 2ц'ь) - к\ь - їк2((іь + A6)-
а 3
+ Икф'щ + 4і—фЬ\\ + ~хА(ЪР - ЬА)ць + 3(3P + 5Д)?6]
= хтьс2{и'ь)2Фь,
(1.297)
К + 2-А; - Ь2(Я6 + A6) + 2
CL О
.а" а'2
2---=¦ -
а а'
Aft - frVb+ 98
ГгПАВА 1. Кинетические уравнения в ОТО
+ 2ikip'b\\ + = XmbC2 (К2)2 - 3(«'ь2ц)2) Фь. (1.298)
2. Векторные возмущения
(35 + Фьі- + \ik<T'b + Xa2{P + 5A)lpbL = XmbC2U1Iu'ь^Фь,
(1.299)
„а', ( а" а'2 , \ а'{ + 2-<т'ь + 22---2-- Xа Д Cb - 2ікф'ЬІ_-
CL у О Cl /
- = 4хтьс2и'щи'ы_Фь. (1.300)
3. Тензорные возмущения
u'b' + 2—v'b + к2иь + 2 (2— - ^ - ха2д) Vb = 2^02^)^. а \ а аг J
(1.301)
1.4.4 Линеаризированные уравнения Эйнштейна на нерелятивистской стадии расширения Вселенной
На нерелятивистской стадии расширения Вселенной вкладом в тензор энергии—импульса релятивистских частиц можно пренебречь по сравнению с вкладом нерелятивистских частиц. Это означает, что в уравнениях (1.292)—(1.301) можно положить P = O, Д = 0. Тогда из уравнений Эйнштейна (1.267) для усредненной метрики (1.268) следует ха2е = 3a/2/a2, а = (1/2)ао/*72, так как плотность энергии нерелятивистского вещества ведет себя по закону 1 /а3 (см (1.277). Уравнение для тензорных возмущений принимает вид
< + + = 2Хш6с2К61)2Ф6., (1.302)
rI
Решение этого уравнения запишем в виде
Ub=2_WT нІ_[{кV+1)8іп[*(ч-,/)]+ К J-По 7J
+ *(,/ - Ч) coe?to - »7')]] («'бі)2Фь(»?/, q',РІ).
(1.303) 1.4. Уравнение в мире Фридмана 99
Система уравнений для векторных возмущений принимает вид
+ ?2) Фь? + \Ік<Т>ь = Хтьс2и'°ьи'ь±Фь, (1.304)
< + -»і - 2»WbJ. - -гкфы. = AxmbC2и'ьпи'ьі_фь• (1-305)
Т] Г] 11
Эта система легко решается:
=^T- ? +8^-? «W)+
+ к2T1'2 (і - Vfф')}и'ьМФьЫ,ч\р'ь), (1-306)
і>ь± = ^^{rfu'lu'b^bM^)-
- 4 Г WVbiiftV^MW, q\р'ь)}- (1.307)
V Jvo '
Переходим к системе для скалярных возмущений 12 Aik 1 , 2
'^fipb ~ + з* ^b + + ^6+
+ ^6 = XmbC2 (и'°ь)2Фь, (1.308)
2%к 12 1 --<Рь - -J^4I + гВД + Ч) = -хтьс'и^в'чіФь, (1.309)
Tj T]* о
/і"ь + Л"„ + 1(^ + Ai) - - = -3xmbcV6||)2*6, (1.310) V V
А 1 Sik
К + -Аб - + Ab) - fcVb + + —V-бЦ =
= Xm6C2 ((u'2)2 - 3(«'62ц)2) Ф6. (1.311)
Уравнение (1.310) получено вычитанием из (1.298) уравнения (1.297).
Система (1.308)—(1.311) имеет следствия
%-{{и'1)2Фь) - іки'°ьи'ц\фь + *((u'°b)2 + «)2)Ф6 = 0, (1.312) 100
ГгПАВА 1. Кинетические уравнения в ОТО
\ д 4
Xm6C2 + -u'bци'6Ф6 - г*«ц)2Ф6
12 24 6ik = + ^41 + -fVb. (1.313)
С помощью (1.309) и (1.310) получаем
/і6 + Лб = II ~ Xmbc2[ju'bub\\фь + J^ ^УКб||)2<М*?')]-
Вследствие (1.312) система (1.308)—(1.311) допускает произвол в решении в одну функцию. Положим в дальнейшем фЬ\\ = 0. Тогда из (1.313) определяется <рь . Если при этом и'ь^цФб выразим из (1.312), то получим
ч>ь = IST2 (*ґ±т«'іг*ь)) +
+ + Ч2(«'б||)2Фь}. (1-314)
С помощью (1.312) преобразуем выражение для /і6 + A6:
fib+ Xb = -хтьс2{щ^2(и'°ь)2Фь)+
+ и'ь)2Фь + jf <іт)'т}'(и'ь\\{ті'))2Фь(т)')}- (1.315)
Здесь мы учитывали зависимость и1 от т] : и% ~ 1/а2 ~ \/if (постоянными считаются щ!).
Неизвестную fib находим из (1.308). Опуская выкладки, выпишем результат для ць и A^
Mb = xmbc2{ - ±±(п2(и>0ь)2Фь) - 1(и'ь)2фь + ^(«'Ь°)»ФЬ+
+1 Г^Т[\(<Ы))2~(и'ьцЫ))2+
rI Jri о 0
+ (1.316)
Аь = xm6c2{ - ^2К)2Ф6 + ± f dV'V'4[- \«W))2- 1.4. Уравнение в мире Фридмана
101
- («W))a - ^KiiM)2 - ^r - І) &ц\М))2]*ьЫ)}.
(1.317)
В уравнении (1.262) возмущения компонент метрики присутствуют только в выражениях для Qjk. Последние выражаются через (р, Ipot и hQ? следующим образом:
OO — 1 /
^oo - 2 ^ ' 1
^Oa = ^Pta - ^a,
^atf = H--hot? + о + Фр,а)--<P&a?,
^lal а
^0? = \h'<*? + ha? '
z a
«5, = ^ + (V0)1/,),
= - (h$)n - W),?) + ^rS?-y.
1.318)
1.319)
1.320)
1.321)
1.322)
1.323)
Подставим в (1.318)—(1.323) выражения для возмущений метрики в представлении ( 1.281)—(1.283), используем разложение (1.292)— (1.294) возмущений на скалярные, векторные и тензорные и представим величины <Рь,1рЫ, И их производные ПО Г] в виде
Ыч,ч',р?,к)= Г dv'<Pb(4,4',P'b,k)*b(v',4',P,b) (1-324)
JVo
и т. д. Например,
Mv,V',M = -^r-Uv2S" - W + 6S)(u%'))4
+2(-4*' + З*)«^'))2 + *V«(«'4|(|/))2}, где S = 6(т]' — і) + є)—дельта-функция. Штрих у дельта-функции обозначает производную по г)'; є -> 0.
