Макроскопическая гравитации - Захаров А.В.
ISBN 5-8037-0053-3
Скачать (прямая ссылка):
Уравнение (1.262) можно получить и непосредственно из (1.254) после замены переменных (1.256) и (1.260).
Тензор энергии—импульса частиц выражается через Na следующим образом:
fij = Ec/ ^Pa<Na(q\?l). (1.263)
Если перейти к импульсам р, и функции Na , то получим
TІ = Ec/ (1.264)
1.4.3 Уравнения Эйнштейна
Величины QJ1k , стоящие в правой части уравнения Лиувилля (1.262), определяются из уравнений Эйнштейна (х = SnG/с4):
Gij = XTij,
где Gu —тензор Эйнштейна, вычисленный по метрике дij , a выражается через Na по формуле (1.264). Если взаимодействие частиц слабо, то уравнения Эйнштейна можно линеаризировать относительно усредненной метрики gij (д^ = д+ Sgij ):
SGij+ Qij = Y^xc J -^^pUi[Nb{q,p'b)-TibMq1Ptb)]. (1 265)
Здесь
Sb = (/dsS4^ -qi(l)(s))S4(Pj -pfks))) = ±(Nb)
—одночастичная функция распределения, SGtj —возмущения с точностью до линейных слагаемых по Sgij компонент тензора Эйнштейна,
= E ^c f -4ЦрШт + U1bUDnbfbSglrn. Y2 J V (-9) 1.4. Уравнение в мире Фридмана
93
Тензором энергии—импульса
Т" = / ~~7f==TPbuinbfb{q,Рь), (1.266)
ь 3 v(-tf)
вычисленным с помощью fb , определяется усредненное поле gij :
Gij = XTij. (1.267)
Здесь Gtj—тензор Эйнштейна усредненного пространства с метрикой д^ .
Далее мы в качестве решения системы (1.267) выберем простран-ственно-плоский мир Фридмана с метрикой gij вида
Sij = diag(a2(V), -а2(ч), -a2(r,), -U2(T1)). (1.268)
Конкретизируем линеаризированные относительно метрики (1.268) уравнения Эйнштейна (1.265).
Введем обозначения (а, /?, 7,... = 1,2,3)
Sg00 = a2(p} Sgoa = Q2^0e, Sga? = -a2ha?.
Возмущения компонент тензора Эйнштейна с точностью до членов первого порядка малости имеют следующий вид:
^00 = h [-6^р+2^ - - h^ + • (L269) ю°а = [^tp'"" 3Sr+Ii^n - +VhaS * л'а),1 -(L270)
Ap«? _ 2 - (W" + - We-' + ^e) + 1(Фа'0 + Фр,аУ+
2 а ' ' а I
+!(Ae")" + —(ha?y - Ih11SaI3 - -h'Sa? + (2- - ^ ha?+
2 а 2 а \ a a1 J
+ \(hn - hi-s)Sa? - \(h'a? + W - hn'? - '")}• (1"271)
Здесь штрих обозначает производную по 77, запятая в верхнем или нижнем индексе обозначает обычную їіроизводную по координатам. 94
ГгПАВА 1. Кинетические уравнения в ОТО
Поднимание и опускание пространственных индексов производится с помощью символа Кронекера SQ? ; h = h>? .
Считая, что семимерная функция распределения Fb, связанная с fb соотношением
nbfb = Fb(pa)s(y/g^pipj - m6c), (1.272)
является функцией только от р2 = р\ +р\ + pi [66], конкретизируем выражение для Qct^.
Q00 = K2e + ЗР + 15Д)^ + (* - Р - 5Д)Л3 ' (L273)
Q0a = + (1.274)
а'
Qa? = фї[(Р- A)h6a? + (2P + bA)4>6a? -2Aha?]. (1.275)
ZcZ
Усредненный тензор энергии—импульса, вычисляемый с помощью /б по (1.266), имеет в данном случае вид:
Tij = (е + P)vV - Pgij. (1.276)
Здесь V1 —средняя макроскопическая 4-скорость частиц газа. В метрике (1.268) Vt = (Ifa)St0. Плотность энергии є, давление P1 и величина Д выражаются через интегралы от функций распределения Fb в импульсном пространстве:
е = ^ Г dpp2 Jrnlc*а*+р*Fb(p2), (1-277)
a J о v
(1 279)
В дальнейшем обозначим Ф = Nb - nbfb и воспользуемся тождеством
фь(ч,Ч,р'ь) = Щз J d^J ^3kexp[-ik(q - ч')]Фь(»7, q'.P^), (1-280) 1.4. Уравнение в мире Фридмана 95
Каждую ИЗ НеИЗВеСТНЫХ <р, Ipa J "a? ИЩЄМ В ВИДЄ!
^ Ч) = (2^js ?/dV*/ d3q'j rf3kexp[-ik(q-q')]x
(1.281)
Mbti = JffiS4E J Wb J A'/ d3keXp[-ik(q-q')]x
X ФаЧч,ч',р'ь,Ь), (1.282)
hc?(rt,q) = E1 j d4Pb j A J d3kexp[—ik(q — q')] x
X Ajgfo.q', р'ь, к). (1.283)
Подставляя (1.280)-(1.283) в (1.265) с учетом (1.269)—(1.275) для фурье-образов возмущений получаем уравнения:
-6—^рь - 2?kar(b) + ^2Л(Ь) - кЧрН'М) + ?(А<ь>)Ч
+^Xa2K2е + ЗР + 15Д)уь + (е - P - 5Д)Л<6>] =
= Xmbc2(u'°b)4b(r,,q',p'b), (1.284)
-i-k*<pb _ 3^!va(b) - - A:aifc7V7(b))-
а а2 2
-|«(*/>Ав'(Ь) - *вЛ(ь))' - ха2(Р + 5Д)^а<6> =
= -Хтьс2ч'°ьч'%Фь(ч,<1',Рь), (1.285)
[(2T-5) ^+ 7^-5^}^ +Sfte^+
а а
-\і{каі>№ + + ^(ла"(6))" + ~(ha?wy - hh^ysa?-
2 2 а 2
а \ а аг J 96
ГгПАВА 1. Кинетические уравнения в ОТО
+ k2ha«ь> - UaU1K^ - IcPk1WaW)+ +Xa2[\(p - A)h(b)Sa? + \{2P+b&)vb6a? - =
= Хтьс2ч'аьчфьФьМ,р'ь). (1.286)
Здесь к = \/Sa?kak? = \/кк.
Далее все возмущения разобьем на три типа: скалярные, векторные и тензорные [55]. Для этого представим и'а в виде
ti'" = y«f| + «'l, (1.287)
где Ufl = (kau'a)/k, kau'l = 0.
Введем обозначения u'\ = 6apu'1u'± = u'2 — u'jj, и'2 — Sa?u'au'? и единичный вектор Sla , направленный вдоль u'J :
Введем в рассмотрение также тензор
Q'a? = S'aS'?-l-(sa?-l^j, (1.289)
обладающий свойствами:
Je^ = O, kaQ'a0 = 0, Q,a?Q'a? = \. (1.290)
Тензор u'^u'l может быть представлен в виде разложения по линейно независимым тензорам:
«'?«'? = + - 3и%) (I*-' - Щ +
+ « V'"- (jS'b + Ts"*) + (1-291) 1.4. Уравнение в мире Фридмана
97
Представим Va(7W^k) и hbOtp(vIiQfIPbik) В виде суммы скалярных, векторных и тензорных возмущений [55]:
№ = у ^H + StabItu AiS = 5^+ Ab (1^-?^) +
