Макроскопическая гравитации - Захаров А.В.
ISBN 5-8037-0053-3
Скачать (прямая ссылка):
In
(2.92) 2.1. Гравитационные взаимодействия
141
Вследствие свойств (2.88) , (2.92) мы можем выражение (2.81) для Pij записать в следующем ковариантном виде:
_ v X3mlmlnbncc7 Г d4p' f fr 2 1.
+U1iU1j) + (z2 - l-)gij - 2zMu'j + иЩ)]д<г - 2(z2 -
(2.93)
Здесь мы воспользовались тождеством
4 И - f + + - М»"] = («И - І)
Отметим, что тензор fiij является бесследовым:
SijVij = 0. (2.94)
Вследствие (2.79) и (2.94) макроскопические уравнения Эйнштейна для гравитационно взаимодействующих частиц записываются в виде:
Gij + Vij-k + Hij =XTijl (2.95)
где точка с запятой обозначает ковариантную производную в пространстве с метрикой gij , Gij —тензор Эйнштейна этого пространства, Tij —тензор энергии—импульса.
Тензоры ifij и mj выражаются по формулам (2.78), (2.93) через одночастичные функции распределения fb, заданные в восьмимерном фазовом пространстве, в котором все четыре компоненты четырехмерного импульса считаются независимыми. Переход к семимерной функции распределения Fb осуществляется по правилу:
nbfbW,Pj) = Fb{q\pa)s{\/glmpipm - mbc).
Здесь функция Fb зависит только от пространственных компонент импульса (пространственные компоненты мы обозначаем греческими индексами ). 142
ГЛАВА 2. Макроскопические уравнения Эйнштейна
Интегрируя (2.78), (2.93) по pf0 и приводим тензоры ^ и pij к виду:
k VX3mb3mc3c9 f rfV f d3p" Г! ,, ,
ir 8(2»)8 J P10VfdJ
W*(«V')(*K+ */«?)] ((«'«")2 - 5) X X u") (рс(х")Щ^1 - , (2.96)
v X3Tn3bTn3cC9 f d3p' f d3p"
L. 8(2тг)3 J p'o^jj p"0y/Wg)X
* {[(*2++щ)+(z2 - \)9ij - 2 *(«:•«?+ -2(22 - \)^Jrgm(u',u")Fe(x")^
X |F6(X')[(22 - + (22 + - 22UyVmj j. (2.97)
Здесь
—инвариантные элементы объема в трехмерном импульсном пространстве частиц сорта бис соответственно. Греческий индекс а в (2.96) пробегает только значения 1,2,3 (пространственный индекс). Производную по p'j в (2.97) следует вычислять так, как будто все четыре компоненты импульса независимы. Зависимость р'0 от р'а учитывается после дифференцирования по p'j .
Тензор (fij -h Pij обязан подчиняться дополнительному условию
= 0, (2.98)
так как дивергенции тензоров Gij и Tij обращаются в нуль.
Уравнение (2.98) накладывает некоторые ограничения на зависимость от координат и относительной скорости частиц (последняя может быть выражена через z) параметра km\n . 2.1. Гравитационные взаимодействия
143
Макроскопический тензор энергии—импульса в правой части макроскопических уравнений Эйнштейна также выражается через од-ночастичные функции распределения Fb :
К системе уравнений (2.95)—(2.99) нужно добавить кинетическое уравнение для Fb , которое получается из (2.59) интегрированием по Po и имеет вид (2.59).
Полученные уравнения гравитационного поля для сплошных сред отличаются от классических уравнений Эйнштейна наличием дополнительных слагаемых в левой части:
Эти слагаемые пропорциональны постоянной Эйнштейна в третьей степени, однако они пропорциональны плотности частиц во второй степени. Эти дополнительные слагаемые могут сыграть роль, следовательно, только в сплошных средах достаточно высокой плотности. Такие плотности возможны на ранних стадиях эволюции Вселенной, а также внутри объектов, близких к состоянию гравитационного коллапса. Поэтому, естественно, первые приложения полученных уравнений следует искать в теории ранних стадий эволюции Вселенной и в теории гравитационного коллапса.
Отметитим, что дополнительные слагаемые в левой части макроскопических уравнений для гравитационного поля в сплошных средах получены только с учетом гравитационного взаимодействия частиц среды. В средах, где играют значительную роль другие взаимодействия, следует учесть и последние. Например, в плазме главную роль играют электромагнитные взаимодействия. Поэтому при выводе уравнений для гравитационного поля в релятивистской плазме, в частности, в космологической плазме на радиационно-доминированной стадии эволюции Вселенной, следует в первую очередь учесть электромагнитные взаимодействия. Выводу макроскопических уравнений для гравитационного поля в релятивистской плазме посвящен следующий параграф.
(2.99)
iPij -,к + Hij 144 ГЛАВА 2. Макроскопические уравнения Эйнштейна
2.2 Макроскопические уравнения Эйнштейна и Максвелла для релятивистской плазмы
Данный параграф является продолжением предыдущего, посвященного выводу макроскопических уравнений Эйнштейна для системы взаимодействующих частиц с точностью до членов второго порядка малости по взаимодействию. Он посвящен выводу макроскопической системы уравнений Эйнштейна—Максвелла для систем, в которых доминирующими являются электромагнитные межчастичные взаимодействия (например, радиационно-доминированная космологическая плазма в расширяющейся Вселенной до момента рекомбинации).
Усреднение по ансамблям микроскопических уравнений Эйнштейна, Максвелла и уравнений Лиувилля на случайные функции каждого из сортов частиц приводит к замкнутой системе уравнений, состоящей из макроскопических уравнений Эйнштейна, Максвелла и кинетических уравнений на одночастичные функции распределения каждого из сортов частиц.
