Макроскопическая гравитации - Захаров А.В.
ISBN 5-8037-0053-3
Скачать (прямая ссылка):
OfW = + 0,-?* + dkhii).
Для этого представим h\j\rj, rf ,р'ь, к) виде
Zi6W,К,к) = («ЭД - ^i) (е"<-'-> -е-»«-*)
(2.35) 124
ГЛАВА 2. Макроскопические уравнения Эйнштейна
и введем 4-векторы kf = (Ar, k), Ar- = (-Ar, к); при этом, очевидно,
к- = -кї(-к). (2.36) Вычисляя (77, q), получим
ftSiM = E / d*P'J j d3к
b
X ?^fo, V',p'b, к)ФьЫ, ч',р'ь), (2.37) где
г,' Ь\ XmbC2 J Г /6 /6 1 \ Li Ґ lb ,і 1XAl+
Qjk (Г/, V ,P , к) = 2(27r)3jfc| (u fc - -TtjkJ к+-^ti у« ь - -SjJ kt-- («'!Уь - \sfj *+] exp[i*(,/ - г,)} - [ (и'Ук - ^vjksJ к'_-
- ("'M - ^j) К - - \sCj fr"] ехр[~ik(rf - •?)]}¦ (2.38)
Выражения (2.34),(2.37) нужйо подставить в (2.17)—(2.19) и в (2.26), которое в подробной записи имеет вид
Ay = "^Vm ((ft!""!]")) + ^Vj ((АГП^>) + (QiJlImQ^n)-
/0(l)m0(l)n. ST^ X [ d4p Г I fe TO 1 „fe„m 1 „ fcm ,
-<«,•„ ".m — J U ~49ijPP ~2PiPj9 +
+ \mygijgkm +PiPkSf+PjPkS? - Imlc2Sk6™yNahkm). (2.39)
После проведения операции усреднения в (2.39) мы получим окончательные макроскопические уравнения Эйнштейна с точностью до членов второго порядка малости по взаимодействию. Однако предварительно нужно получить кинетическое уравнение для одночастичной функции распределения с той же точностью. 2.1. Гравитационные взаимодействия
125
2.1.3 Релятивистское кинетическое уравнение с точностью до членов второго порядка малости по взаимодействию
Подставим (2.37) в (2.12):
X ехр[—ik(q - і/, р'ь, к)р1ртАлМа(х)Фь(х'). (2.40)
Здесь и ниже совокупность всех переменных (77, q,p) будем обозначать через ж, а аналогичную совокупность (77',q',p')—через ж'. Импульсы переобозначим просто как р', а р"6 через р". Усредним (2.40) по совокупности систем [5]:
X Г dt] ехр[—ik(q - v'.pI к)р'рт Д,,<ЛГв(*)<М*')>-
J — OO
(2.41)
Умножая (2.40) на Фь(я') и усредняя, получим
Р^(Ма(х)Фь(х')) + г^ Vpfc ^(^а(«)Фб(«')> =
= ^-Е/ d4Pbj dV'/ t^k /"ro^"exp[-ik(q-q')]x
X ?/Wtf ^,р'ь',к)р'ртАі,(АГ0(а;)Фб(х')Фс(х")>. (2.42)
Уравнение (2.42) есть уравнение на второй момент (Na(x)Nb(x')). Заменой a f* 6, ж f* ж' в (2.42) получается другое уравнение на этот момент.
Введем одночастичную, двухчастичную, трехчастичную и т. д. функции распределения:
(J dsS(x - xa(s))) = fa(x), (J dsS(x - Xa(S)) I ds'S(x - Xb(Sf))) = U(X1Xf)i 126
ГЛАВА 2. Макроскопические уравнения Эйнштейна
(j dsS(x - xa{s)) j ds'8{x' - xb(s')) j ds"8{x" - xc{s"))) =
= Iabc(X1Xf1Xff).
Здесь, как и ранее, используется обозначение
6(х - Xa(S)) = S4(q* - qi(s))S4(Pj - p](s)).
Для моментов случайных функций справедливы формулы (1.226)— (1.228).
Учитывая связь Na с Фа (Фа = TVa — nafa) и имея ввиду, что fa не случайная функция, нетрудно получить выражения для средних
(Na(x) Фь(х% ^а(х)Фь(х')Фс(х")).
Подставив (1.226)—(1.228) в (2.41), (2.42) и аналогичные уравнения, получим бесконечную цепочку зацепляющихся уравнений на функции распределения /а,/а6,/а6с и т. д.
Для получения кинетического уравнения на функцию распределения fa с точностью до членов второго порядка малости по взаимодействию оборвем цепочку, полагая
/аб(я, Xf) = fa(x)fb(x') + gab(x, X'), (2.43)
Zabc(XiXfiXff) ~ fa (x)fb(x')fc(x").
В результате имеем приближенную систему уравнений на fa(x) и gab(xfx') при Tia » 1:
ж ехр[—ik(q - q')]«®?,І, РІ V)plPm^9ab(x, *'). (2.44)
p'±gab(x,x') = ±j d3q"j d*k|^^"expHk(q-q")]x
x?^)(J7,^,P">k)P'PmAj:)/a(a;)/b(x') Jds"S(x"-xb(s"/x')). (2.45)
При получении (2.44), (2.45) полагалось, что х' ф xa(s/x), т.е. не находится на траектории частиц сорта а, проходящей через точку фазового пространства х. 2.1. Гравитационные взаимодействия
127
Ввиду малости взаимодействия траекторию частицы сорта 6 под интегралом по s" в (2.45) можно считать геодезической в мире Минковского:
p\b){s"/x') = р\ = const,
4,(,/'/*') = q' + (rf' - rj% fcV/*') = ч".
где
/ / / /1 /2 /Зч
6
Интегрируя в (2.45) по ^",q',//', получим
X fCll, iV. ЧЛ™ Дл ехр [ -ik(q - ч") + J(kv'K," - i)\. (2.46)
В уравнении (2.46) для даь(х,х') в левой части мы положили Tijk = 0, так как внутри области корреляции мы условились считать коэффициенты д^ постоянными.
Решение этого уравнения имеет вид
,= /d'vJl M-))] J^ ?л«0х
X П&Ь)(г, r'.p', k') exp[-ik'(q - q') + ^(k'v)^ - г) + ^(kV)(r' - tf)].
(2.47)
Здесь индекс т означает, что после вычисления производной по р, мы должны аргументы 77, q, заменить на величины г, q + v(r — rj)/c.
Решение (2.47) учитывает лишь влияние траектории частицы b на частицу а. Обратное влияние учитывает решение уравнения, полученного из (2.46) заменой а b и х х'. Это решение получается из (2.47) той же заменой. В правую часть (2.44) нужно подставить сумму этих решений. В результате мы получим искомое релятивистское кинетическое уравнение с точностью до членов второго порядка малости по взаимодействию.
Для получения уравнения, являющегося аналогом известного кинетического уравнения Беляева—Будкера для релятивистской плазмы, рассмотрим случай столь медленного пространственно-временного изменения функции распределения, что ее можно считать постоянной в области корреляции. В этом случае в выражениях (2.47) 128
