Макроскопическая гравитации - Захаров А.В.
ISBN 5-8037-0053-3
Скачать (прямая ссылка):
ГЛАВА 2. Макроскопические уравнения Эйнштейна
и (2.44) при вычислении интегралов по q',^',r, г' можно пренебречь зависимостью fa и Д от координат и времени. После интегрирования по q' и к' мы приходим к следующему уравнению на fa
lf. = fAi',Pi),fl = Mi'.p>j)b
где
J,
Г = (2п)гщ J d*p'b j d3k J^ drf^^, г,', pi k)plpmAj{ X
X ехр [- j(kv)fr-r)- i(kv')(r'-^')] + Poo [щ(р"рПKkfb)]т, X
X fa Poo k)exp[ - i(kv)(4 - г) - i(kv')(r' - Tf)] }.
(2.49)
Перейдем к семимерной функции распределения, зависящей от координат и пространственных компонент ра импульса:
»>«/«(*) = Fa(q{,p^S^gijPiPj)1'2 - mac). (2.50)
Уравнение для Fa получается из (2.48) после интегрирования обеих частей по ро. Интегрирование следует провести также по р'0 в (2.49). Учтем тождество
[А(РУД^*Ч)]т =po[^(pVAraFa)]T. (2.51)
По повторяющимся греческим индексам в (2.51) и ниже подразумевается суммирование. В левой части (2.51) при вычислении производной по Pk все компоненты Pi считаются независимыми и только затем учитывается зависимость ро = (m2c2 +р2)1/2 . В правой же части (2.51) эта зависимость учитывается до вычисления производных по пространственным компонентам ра импульса.
Используя (2.51), получаем кинетическое уравнение на Fa:2.1. Гравитационные взаимодействия
129
где
= j d3p'b J d3к
рГ)' г Я ( Г)'8 Г)'* А' Р*\ 1
Теперь остается только подставить ?^6^, т/,//, к) из (2.38) в (2.53) и провести интегрирование по г, т', ту'. Кинетическое уравнение принимает вид
C(jdFa+T JJdpA-d^flPWF (9FaF> 9F'F\
7 V W + r^p WJ ~ Jd pEa? ^6 - W? )
(2.54)
с ядром под интегралом в правой части вида
+ 2^^]2 J d3kkak?[k2c2 - (kv)2]~2?(kv - kv'). (2.55)
Уравнение (2.54) с ядром (2.55) имеет много общего с уравнением Беляева—Будкера в представлении, полученном в [5]. Отличие заключается лишь в том, что множитель (ее)4(UtUfi)2 (см. [5], формула (22) ) в ядре EQ? заменяется на множитель
который можно представить в виде
G2P(U1IiJ)(PVi) - (IiiW)(UVi)]2- (2.56)130
ГЛАВА 2. Макроскопические уравнения Эйнштейна
VV'
Причину отличия нетрудно понять, если заметить, что электромагнитные поля порождаются 4-вектором тока частиц, который пропорционален интегралу по импульсам от функции распределения, умноженной на 4-скорость u1. Гравитационные поля в общей теории относительности порождаются тензором энергии—импульса, пропорциональным аналогичному интегралу от функции распределения, умноженной на UtU^ . Вследствие этого в члене второго порядка малости по взаимодействию (каковым является интеграл столкновений) квадратичная функция UtU1i от скоростей сталкивающихся частиц заменяется ПОЛИНОМОМ четвертой степени ОТ переменных U%, Uj . Кроме того, представляется естественным, что квадрат электрического заряда е2 заменяется на Gp°p'°/c2 , так как р°/с есть релятивистская масса частиц.
После интегрирования по к в (2.55) получаем для Ea? следующее выражение:
_27ГІ02(РУ°)2Гі , D2 , l/2 (VV')
Е«Р--MW-і1 + ^ + -^-"4—-
+ (1-? + ^)}. (2-57)
H2 = V2 + vn - 2(vv') - с_2(Л'2 - (vv')2)-
Величину Ea? можно выразить и через пространственные компоненты Ua 4-скорости:
Е<"> = - Г3/2[2(«Ч)(РМ) - (A*)(«°Pi)]2x
X {-да0[(гЫ)2 - 1] - uau? - u'au'? + (и*и\)(чач'р + u'au?)}, (2.58)
где L-Jk~ldk—аналог кулоновского логарифма.
Нетрудно получить и ковариантное кинетическое уравнение для функции fa от восьми переменных q' и Pj. Оно также отличается от аналогичного уравнения Беляева—Будкера заменой (ec)4(u'u()2 на (2.56):
«dfa л. Г JJdf' -0W JV-F- (9fa Ґ 9f'b f \
р W + 1^pfp Ты) 13 Wb~щи)'
(2.59)2.1. Гравитационные взаимодействия
131
где
Eij = ^^[К«;-)2 - 1]-3/2[2(UkU1k)(P1Pl) - («Ч)(«"р,')]2х
X {-Л-Л(«Ч)2 - 1] - UiUj - U1iU1j + («Ч)(«.«і + ".-?)}- (2-б°)
Полученный интеграл столкновений является логарифмически расходящимся. Как и в теории плазмы, эту трудность следует обходить введением обрезания в интегральном выражении для L.
Верхний предел Ar00 в f k"1dk положим равным l/rmin, где rmin —расстояние, на котором кинетическая энергия сталкивающихся частиц сравнивается с из потенциальной энергией. Нижний предел Ar0 полагаем равным 1 /Я, где расстояние R зависит от характера усредненной метрики gij . Так в случае, если gij —метрика Фридмана, то Л ^ ((?;2))1/2^, где ((v2))1/2—средняя тепловая скорость частиц, t—космологическое время, так как учет расширения Вселенной приводит (см. предыдущую главу) к устранению расходимости интегралов при fc —> 0, причем вклад в интеграл для L от области к < 1/R пренебрежимо мал.
Заметим, что как и ожидалось, правая часть полученного кинетического уравнения (2.59) обращается в нуль при подстановке вместо fa релятивистского распределения Максвелла:
/«(?',Pi) = А»ехр (-C-~j Ш'юі)1'2 - mac).
Здесь Aa—нормировочный множитель, T—температура, кв—постоянная Больцмана, щ —макроскопическая 4-скорость среды в равновесном состоянии,
2.1.4 Упрощение макроскопических уравнений
Подставим в (2.39) выражения (2.34), (2.37) и воспользуемся (1.226)— (1.228). В результате дополнительные слагаемые в макроскопических уравнениях Эйнштейна варажаются через корреляционную функцию даь{х, •