Макроскопическая гравитации - Захаров А.В.
ISBN 5-8037-0053-3
Скачать (прямая ссылка):
А'оо = K0a = 0, Ka? = vl2k2min (S°? ~~ (2J5)
Здесь V = у/V2 + v\ -f vi , va = vQ = Uct/u0—пространственные компоненты вектора V.
Ковариантное обобщение (2.75) имеет вид :
4тг2
кф'У) = ^in[(uV,)2_1]3/2{ - К«1«")2 - Чру-2.1. Гравитационные взаимодействия
137
- U1iU1j - u>>u>> + (и'и")(иЩ + u'/u'j)}. (2.76)
Выражения для K^J(u', и") и и") оказались расходящи-
мися при к 0, т. е. при больших прицельных расстояниях. Это связано с тем, что мы интегрируем по бесконечной области, в то время как на самом деле нужно ограничиваться интегрированием только по области корреляции, где мы считали метрику слабо меняющейся. Данную трудность, также как и при выводе кинетического уравнения, следует обходить введением обрезания в расходящемся интеграле
Г —
Jo
Нижний предел интегрирования положим равным не нулю, а величине Arrain = l/rmax, где rmax—размер области корреляции (радиус корреляции). Тогда предыдущий интеграл принимает значение V^min = (1/2)г^ах. Опыт вывода релятивистского кинетического уравнения (см.[59], [75]) показывает, что при более тщательном исследовании интегралы становятся сходящимися при г —> оо, причем вклад в интегралы от области г > ?*тах пренебрежимо мал. В [59], [75] даны оценки для величины гтах в случае, когда усредненная метрика gij есть метрика изотропной космологической модели.
Тензор (2.76) обладает свойствами:
u") = Kij[u"y и% KijUfi = KijUni = 0, Kij = Kji.
(2.77)
Вследствие этого выражение для Pfi существенно упрощается. В макроскопические уравнения Эйнштейна входит не тензор Pfi , а тензор Ipf-J = — (1/2)(?Sj — SjS„)Pfi . Выражение для этого тензора приводится к виду:
к _ у^ x3m2bm2cnbncc7 f dAp' f d4p" [1 ^sknjtmtll ,
8(2,)3 Ут^уУ 7^2* ^ +
+u%Su»)(6ju! + S{u'!)\ ((uV')2 - 0 Kfr (?/', и") X
{fc[x)^r'fb{x)~WJ' [ ]
Отметим, что138
ГЛАВА 2. Макроскопические уравнения Эйнштейна
913'А = 0, ^j=O, = ^1. (2.79)
Аналогичным образом упрощаем выражение для тензора
Mj = (SnSsj - SjSsn) Qlis + Xij,
(2.80)
которое принимает вид:
TrX3mbTncTibncC6 f d4p' Г d4p" f ,u „b
»> - ? 16(2.)3 J Уно/ y/Fgj )/с( )Х-(1 - IO(UV)2) ju'^r _ u"ru'j6«+gir [ (V«")2 + «"«г
4 (Vu")2 - - 2(u'u")u^'] - ((uV')2 - 0 ^jx
X (rncu'm J1!^(u/u") + mbu"m4%(u,'«"))-^r X3m2m2nbncc7 f d*p> f f
ТРИ/ 7ЫУГ
-u'Tu'tf+gr [ ((uV)2 + I) + і ((u'u")2 - i) Jij-
-2(uV'K<] - (("V')2 - 1) [ ((uV)2 - Sf +
+ ((«V)2 + i) - 2(UV»'m] (u', u")fc(x") +
+ [ ((u'u")2 - «J? + ((u'u")2 + i) u?u'""--2(u'u")u'fu"m]4fm(u', u")fb(x')^iy (2.81)
Здесь введены обозначения Jj^m (w',u") И Jrgm(W7)W") для тензоров, которые в локально-лоренцевой системе отсчета имеют вид:
«">/1 * /1/1" С2.1. Гравитационные взаимодействия
139
х (k-eik^"~T"> - k+e-ik(T"-T">)exp[i-(kv")(r," - г") + ^(kv')(r' - rj')],
-"»=и* I" L « L tfL ** L d^
x(jk+e-,fe("'-") - Ai-VfcC'-")) (А+е«*(ч"-ч) _ A-e-<fc(""-''))x X (ife-e''fc(T"-T'> - fc+e-''fc<T''-T'>)ea;p[J(kv")(»7" - r") + ^(kv')(r' - r/)].
После вычисления интегралов no tj',ti",t',t" имеем:
JW ы u") = fd3k V-p- f I
imnV ' ; u'°u//0 J k3 (kv" — kv') \ (kc + kv")3
. ^ m^n + tf к mk* + к і к^к* kfkmkn + kt k^kn + kl kmk%
(kc + kv")2(Ac — kv") + (kc + kv")(kc — kv")2
Выражение для jj^n(u\u") получается из u") заменой
v' —? и наоборот. Символ V.p. означает, что интеграл вычисляется в смысле главного значения.
Конкретизируем (2.82) в системе отсчета, в которой выполнены соотношения: v' = V,V" = -V1Uf0 = u"0 = 1/у/1 — V2/с2 = W0 . В
этой системе отсчета компоненты Jtmniu'>и") имеют вид (пространственные индексы у трехмерного вектора скорости Va опускаются с помощью трехмерного символа Кронекера SQ? :
V2 V
Jooo = -a(v)—, J0Oa = -a(v) —, (2.83)
с? с
Joc? = -<*(v)6a? + ?(v) (sa? - 1^P) , (2.84)
J«Pi = - ^aM [*«/» ^T + *<nr l-f + S?y у - 2 va^ ] +
(2.85)140
ГЛАВА 2. Макроскопические уравнения Эйнштейна
Функции а и ? в (2.83)—(2.85) зависят только от скорости v = \JVI + l>2 + t)|. Их явный вид следующий:
7ГС
WnV3Arn
2(v/c)(l + V2/с2)
(1 - v2/c2)2
+ In
/!-«/ЛІ
\l + v/c)\'
(2.86)
? =
ТСС
2 Wq V^km in
2(»/с) (3 - 2(v2/с2) + 3(v4/c4))
(2.87)
(1-и2/с2)2
+ 3(1 + *2/с2) Infif^y \1 + v/с/ .
Здесь введено обозначение для интеграла
1 /*0° Л
^rnin Jkmin к2
По соображениям, указанным выше, здесь мы вновь нижний предел положили равным ArmJn = l/rmax •
Ковариантное обобщение данных результатов на произвольные системы отсчета имеет вид:
¦/$(«',«") = ¦/$(«",«') = «"), (2.88) Jijkiu', u") = A [(ffiji/fc + giku'j + дJkU11) - z(giju'b + giku" + gjku")-
-WiVtW + иЩи'? + uy;u'k) + 3
+Г
+
¦«J«>fc - =U1Wj "к + <Uj«'k + <«>*) +
+ + uW + «"«"«*) - *3«"«;ч] .
ГДЄ 2 = (tlV) = (UliU1I) ,
2л-v/2
(2.89)
.4 =
C =
Av
271V2
(z-6)
(г-2) і (2*-1) in f- і
Kc - 1)2(с + 1)^/2 + (г + 1)(г _ 1)5/2 1П {' + 1J
(2.90)
i6^-'-(, + V^I)].
(2.91)
.(г - 1)--»(г + 1)3/3 т (г+ 1)2(г-1)7/2 Тензор Jijk(U1yUn) удовлетворяет тождеству Jy* («', «")«"*= 0.