Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Захаров А.В. -> "Макроскопическая гравитации" -> 35

Макроскопическая гравитации - Захаров А.В.

Захаров А.В. Макроскопическая гравитации — М: Янус-К, 2000. — 284 c.
ISBN 5-8037-0053-3
Скачать (прямая ссылка): makroskopgravitaciya2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 29 30 31 32 33 34 < 35 > 36 37 38 39 40 41 .. 73 >> Следующая


А'оо = K0a = 0, Ka? = vl2k2min (S°? ~~ (2J5)

Здесь V = у/V2 + v\ -f vi , va = vQ = Uct/u0—пространственные компоненты вектора V.

Ковариантное обобщение (2.75) имеет вид :

4тг2

кф'У) = ^in[(uV,)2_1]3/2{ - К«1«")2 - Чру- 2.1. Гравитационные взаимодействия

137

- U1iU1j - u>>u>> + (и'и")(иЩ + u'/u'j)}. (2.76)

Выражения для K^J(u', и") и и") оказались расходящи-

мися при к 0, т. е. при больших прицельных расстояниях. Это связано с тем, что мы интегрируем по бесконечной области, в то время как на самом деле нужно ограничиваться интегрированием только по области корреляции, где мы считали метрику слабо меняющейся. Данную трудность, также как и при выводе кинетического уравнения, следует обходить введением обрезания в расходящемся интеграле

Г —

Jo

Нижний предел интегрирования положим равным не нулю, а величине Arrain = l/rmax, где rmax—размер области корреляции (радиус корреляции). Тогда предыдущий интеграл принимает значение V^min = (1/2)г^ах. Опыт вывода релятивистского кинетического уравнения (см.[59], [75]) показывает, что при более тщательном исследовании интегралы становятся сходящимися при г —> оо, причем вклад в интегралы от области г > ?*тах пренебрежимо мал. В [59], [75] даны оценки для величины гтах в случае, когда усредненная метрика gij есть метрика изотропной космологической модели.

Тензор (2.76) обладает свойствами:

u") = Kij[u"y и% KijUfi = KijUni = 0, Kij = Kji.

(2.77)

Вследствие этого выражение для Pfi существенно упрощается. В макроскопические уравнения Эйнштейна входит не тензор Pfi , а тензор Ipf-J = — (1/2)(?Sj — SjS„)Pfi . Выражение для этого тензора приводится к виду:

к _ у^ x3m2bm2cnbncc7 f dAp' f d4p" [1 ^sknjtmtll ,

8(2,)3 Ут^уУ 7^2* ^ +

+u%Su»)(6ju! + S{u'!)\ ((uV')2 - 0 Kfr (?/', и") X

{fc[x)^r'fb{x)~WJ' [ ]

Отметим, что 138

ГЛАВА 2. Макроскопические уравнения Эйнштейна

913'А = 0, ^j=O, = ^1. (2.79)

Аналогичным образом упрощаем выражение для тензора

Mj = (SnSsj - SjSsn) Qlis + Xij,

(2.80)

которое принимает вид:

TrX3mbTncTibncC6 f d4p' Г d4p" f ,u „b

»> - ? 16(2.)3 J Уно/ y/Fgj )/с( )Х-(1 - IO(UV)2) ju'^r _ u"ru'j6«+gir [ (V«")2 + «"«г

4 (Vu")2 - - 2(u'u")u^'] - ((uV')2 - 0 ^jx

X (rncu'm J1!^(u/u") + mbu"m4%(u,'«"))-^r X3m2m2nbncc7 f d*p> f f

ТРИ/ 7ЫУГ

-u'Tu'tf+gr [ ((uV)2 + I) + і ((u'u")2 - i) Jij-

-2(uV'K<] - (("V')2 - 1) [ ((uV)2 - Sf +

+ ((«V)2 + i) - 2(UV»'m] (u', u")fc(x") +

+ [ ((u'u")2 - «J? + ((u'u")2 + i) u?u'""--2(u'u")u'fu"m]4fm(u', u")fb(x')^iy (2.81)

Здесь введены обозначения Jj^m (w',u") И Jrgm(W7)W") для тензоров, которые в локально-лоренцевой системе отсчета имеют вид:

«">/1 * /1/1" С 2.1. Гравитационные взаимодействия

139

х (k-eik^"~T"> - k+e-ik(T"-T">)exp[i-(kv")(r," - г") + ^(kv')(r' - rj')],

-"»=и* I" L « L tfL ** L d^

x(jk+e-,fe("'-") - Ai-VfcC'-")) (А+е«*(ч"-ч) _ A-e-<fc(""-''))x X (ife-e''fc(T"-T'> - fc+e-''fc<T''-T'>)ea;p[J(kv")(»7" - r") + ^(kv')(r' - r/)].

После вычисления интегралов no tj',ti",t',t" имеем:

JW ы u") = fd3k V-p- f I

imnV ' ; u'°u//0 J k3 (kv" — kv') \ (kc + kv")3

. ^ m^n + tf к mk* + к і к^к* kfkmkn + kt k^kn + kl kmk%

(kc + kv")2(Ac — kv") + (kc + kv")(kc — kv")2

Выражение для jj^n(u\u") получается из u") заменой

v' —? и наоборот. Символ V.p. означает, что интеграл вычисляется в смысле главного значения.

Конкретизируем (2.82) в системе отсчета, в которой выполнены соотношения: v' = V,V" = -V1Uf0 = u"0 = 1/у/1 — V2/с2 = W0 . В

этой системе отсчета компоненты Jtmniu'>и") имеют вид (пространственные индексы у трехмерного вектора скорости Va опускаются с помощью трехмерного символа Кронекера SQ? :

V2 V

Jooo = -a(v)—, J0Oa = -a(v) —, (2.83)

с? с

Joc? = -<*(v)6a? + ?(v) (sa? - 1^P) , (2.84)

J«Pi = - ^aM [*«/» ^T + *<nr l-f + S?y у - 2 va^ ] +

(2.85) 140

ГЛАВА 2. Макроскопические уравнения Эйнштейна

Функции а и ? в (2.83)—(2.85) зависят только от скорости v = \JVI + l>2 + t)|. Их явный вид следующий:

7ГС

WnV3Arn

2(v/c)(l + V2/с2)

(1 - v2/c2)2

+ In

/!-«/ЛІ

\l + v/c)\'

(2.86)

? =

ТСС

2 Wq V^km in

2(»/с) (3 - 2(v2/с2) + 3(v4/c4))

(2.87)

(1-и2/с2)2

+ 3(1 + *2/с2) Infif^y \1 + v/с/ .

Здесь введено обозначение для интеграла

1 /*0° Л

^rnin Jkmin к2

По соображениям, указанным выше, здесь мы вновь нижний предел положили равным ArmJn = l/rmax •

Ковариантное обобщение данных результатов на произвольные системы отсчета имеет вид:

¦/$(«',«") = ¦/$(«",«') = «"), (2.88) Jijkiu', u") = A [(ffiji/fc + giku'j + дJkU11) - z(giju'b + giku" + gjku")-

-WiVtW + иЩи'? + uy;u'k) + 3



+

¦«J«>fc - =U1Wj "к + <Uj«'k + <«>*) +

+ + uW + «"«"«*) - *3«"«;ч] .

ГДЄ 2 = (tlV) = (UliU1I) ,

2л-v/2

(2.89)

.4 =

C =

Av

271V2

(z-6)

(г-2) і (2*-1) in f- і

Kc - 1)2(с + 1)^/2 + (г + 1)(г _ 1)5/2 1П {' + 1J

(2.90)

i6^-'-(, + V^I)].

(2.91)

.(г - 1)--»(г + 1)3/3 т (г+ 1)2(г-1)7/2 Тензор Jijk(U1yUn) удовлетворяет тождеству Jy* («', «")«"*= 0.
Предыдущая << 1 .. 29 30 31 32 33 34 < 35 > 36 37 38 39 40 41 .. 73 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed