Макроскопическая гравитации - Захаров А.В.
ISBN 5-8037-0053-3
Скачать (прямая ссылка):
Kij - (SknSsj - SkjS'n)[-\vkP?s + QU + Xij. (2.61)
Здесь
PJ] =< ApnJ, >, (2.62) 132
ГЛАВА 2. Макроскопические уравнения Эйнштейна
Qkis =< WlQ1is >, (2.63)
X — V^ X f ^4P I ^ „ „k,,m 1 fem 1 „ „im,
x^--L,-J ^y { - 2P^U u - 49iiP P - 2PiPj9 +
+ \rnlc29ijghm+PiPkSJ1+PjPkSr - \mlc448T) < Nahkm > - (2.64)
Опускание и поднятие индексов производится с помощью метрики 9ij •
Подстановка (2.34)—(2.38) в (2.62)—(2.64) приводит к следующим выражениям для PJ1s , Q1^is, и Xij :
Pll = jEf d4p' [ dAp" f d^ f ^V Г drj' Г dr," f d3k'x
J J J J J—oo J-OO J
X п?е)(ч, і", p", к")пьпсдьс(хx"), (2.65)
Яш = E / tfV / d4p" f dV f dV Г dV> Г dr)" f d3k'x
^c ./ J J і/ J-OO J-OO J
X J ^^'(4-^,^-(4-4'?^),,,,^', k')x
X П^і?,»?",*>",k")^^*',x"), (2.66)
Xij=-Y,^- j d*p j CtiplJ d3q'? dr,>J d3k'e-ik'^~^x
ab 00
x{ - ^,PjVtUm - \gijPkPm - \p,pjgkm + \my9ijgkm + PiPkS™+
+ PjPkST - \<сЧитУ1Ы,р'У)паПьдаь(х,х'). (2.67)
В этих выражениях нештрихованные величины относятся к частицам сорта а, штрихованные один раз—к частицам сорта Ь, штрихованные два раза—к частицам сорта с.
Величины даъ[х,х') в (2.65)—(2.67)—это двухчастичные корреляционные функции, выражение для которых получается прибавлением к (2.47) аналогичного слагаемого, получаемого заменой a f* 6, х<+х' (см. [76], [72]): 2.1. Гравитационные взаимодействия
133
gab(x,x') = jd3k?^ ^[А^Ду/Лх))]^ ^fb(x')x ^(г,г',р',к)еХр[-гк(Ч- q') + i(kv)(q- r) + J(kv')(r' - r,')}+
+ I d4 /lo /1 k>X
X exp[—ik(q' - q) + -(kv')(»?' - r') + -(kv)(r - I7)] (2.68)
C C
Здесь индекс т' означает, что в соответствующее выражение, зависящее от штрихованных координат и импульсов в момент тследует подставить вместо ^',q', величины г', q' + \'(т' — rf)/с. Аналогичное значение имеет и индекс т".
После подстановки (2.68) в (2.65)—(2.67) и интегрирования по q', q", k', к" получаем для Pj1s, Q Msi^ij выражения:
Ift= E пьпс(2ж)6 j d*p' j dY f ^ dV> Jv^ drj" j d3k{ f^ dJX
dp',
X exp[-(kv")(»7" - r") + -(kv')(r' - 7?')]+
с C
/i)" j и a . fr" J i
X ехр^Ьг")^" - r") + -(kv')(r' - I7Ollx
C CJ
X ІЇ(Ь)(т}, I7', p', -k)f2((,c)(I7,17", p", k), (2.69)
Qlu = Е»"Пс(2ж)6 [ d*p> f dY Г drj' Г dr," f d3k{ f ^x
^c J J J — OO J — oo J K J — OO P
X [^(PVmA'tj/6(x'))]r( Poo ^Іс(х'Ш](г', r",p", -k)x 134
ГЛАВА 2. Макроскопические уравнения Эйнштейна
х exp[J(kv")(»7" - г") + J(kv')(r' - г,')] + Г ^x
С С J-OO P
X [|т7(р"У'тАГ,/о(х"))]г„ J^ т\р', к) X
X exp[i(kv")(4" - г") + i(kv')(r' - ,/)]) X
X (2.70)
А,і = -EX(2tn6TIC / d4P'J dy[-\p"p>l,k«"m-\9i3p,,kp"m-
be
-\p"p"gkm + + + p>>p"k&r - Imc2C2Jf^] X
X f jv'j
«/ — OO "
X exp[l(kv")(»7 - г") + ^(kv')(r' - J7')]+
X exp[-(kv")(»? - г") + -(kv')(r' - 7?')]!. (2.71)
С CJ
Для дальнейшего упрощения (2.69)—(2.71) поступаем следующим образом. Во первых считаем, что функция распределения внутри области корреляции слабо изменяется и в первом приближении зависимостью / от временной координаты при вычислении интегралов в (2.69)—(2.71) можно пренебречь. Подставим в (2.69)—(2.71) явный вид для hjV и QjfV из (2.35), (2.38) и вычислим интегралы по г' , т" , т/ , г)" , к в (2.69)—(2.71). Тогда выражение для Pfi приводится к виду: 2.1. Гравитационные взаимодействия
135
= Е *3—сс6 /d4P'IdYfb(x')M*")[ 1 - IO(UV)2]*
X (mcu"»K%(u',u") + mbu"™K%(u',u")) - ?
X J d<p> j dY(u'nu\ - IfJ1") [(« - \9i,W} - (u'"u>> - l-S')S{-
-(«"'< - ^)*/] j [(u'u")2(Sf + «$«"») - - U1jUlm)-
-2(и'и")и'ти]]Мх")Ц^К^(и',и")+
+ [(u'u"f(6? + u'!u"m) - l-(Sm - u'!u"m)~
- 2 («'^Afi')^^, «")}. (2.72)
Здесь введены обозначения A'j^i14'* tO И ^/mi14'' tf7O ДЛЯ тензоров, имеющих в локально-лоренцевой системе координат, в которой gij совпадает с тензором Минковского rjij , следующий вид:
< <»'.»">=^ / ? ?* /1 L« С
-k-eik<T"-T'l) eXp[-(kv")(^" - r") + -(kv')(r' - if)],
C C
<<«>->=TT C"* 136
ГЛАВА 2. Макроскопические уравнения Эйнштейна
-k~eik<T"-T'>) exp[-(kv")(7j" - Г") + -(kv')(r' - 7?')], С с
л „«
После вычисления интегралов по г', т", т/, т?" эти выражения принимают вид:
(1) 2 яге5 f сРк f „ ,. /J
і + fcjfcm ) ,
+ (ifec - kv")2(fcc + kv")2 (kc - kv")3(*c + kv") J fm[ ' ''
(2.73)
u") = -A'<|>(u',«") = -Kfm(u', u"). (2.74)
Данные равенства справедливы только в локально-лоренцевой системе отсчета. Для того, чтобы получить ковариантные выражения для тензоров Kj1Jt(Uf1Uft) и Kj2Jl(Uf1Uff) учтем следующее. Выражения K^J(ufyuff) и K^2J(ufyuff) появились в (2.72) после подставки корреляционной функции даь(х\х") в (2.65) и интегрирования по q', q", k', k" . Но выражение для корреляционной функции (2.68) представляет собой сумму двух слагаемых отличающихся друг от друга заменой штрихованных один раз величин, относящихся к частицам сорта а, на штрихованные дважды величины, относящиеся к частицам сорта b, и наоборот. После интегрирования этих слагаемых по q',q",k',к" в (2.72) появились Kif1J(Uf1Uff) и K^2J(Uf1Uff). Очевидно, что оба этих слагаемых должны вычисляться в одной системе отсчета. Удобно в качестве такой системы выбрать систему отсчета, в которой V7 = V1Vff = -V1Uf0 = Uff0 = 1/>/1 — V2/с2 = W0 . В этой системе отсчета
