Основы одноэлектронной теории твердого тела - Ястребов Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
ростом [q|, т. е. при малых |q| компенсация исходного потенциала
происходит лучше, чем для рассеяния вперед. Точка q0, в которой
происходит сокращение членов в (2.170) и (2.172), определяется
уравнением:
<k + q"|lT|k> =0. (4.6)
Ясно, что д0 лежит ближе к началу координат в случае рассеяния назад, чем
в случае рассеяния вперед. Иными словами, формфактор рассеяния назад как
бы втянут к началу координат по сравнению с формфактором рассеяния вперед
(рис. 1.19).
0,2 0,0 -о Л
-0,6
Рис. 1.19. Формфакторы рассеяния вперед и назад для А1 [60].
Заметим, что формфактор рассеяния назад играет при вычислении энергии
зонной структуры (1.36) более важную роль, чем формфактор рассеяния
вперед. Это связано с тем, что для рассеяния назад соответствующие
знаменатели в дробях второго
НазаО
Рис. 1.18. Взаимное положение векторов k, q, к + + Ч-
§ ii. ЗАВИСИМОСТЬ ФФ ОТ q И Е
141
порядка теории возмущений (1.31) будут малы. В частности, условие
брегговского отражения отвечает рассеянию назад, т. е. сингулярности в
(1.31) возникают при импульсах q = -2kF. Конкретная величина формфактора
на границе зоны Бриллюэна (т. е. формфактор рассеяния назад) отвечает за
применимость ряда Рэлея - Шредннгера (см. гл. 1), за величину энергии
связи, за то - будет кристалл металлом или диэлектриком.
Формфактор рассеяния вперед тоже играет определенную роль: в частности,
оптическая теорема теории рассеяния [21, 22] позволяет с его помощью
рассчитывать полное сечение рассеяния данным атомом.
Поскольку не удается построить локальный формфактор строго, то приходится
прибегать к искусственным приемам устранения нелокальности. Например,
использовать в качестве квазило-кального нелокальный формфактор рассеяния
назад или формфактор рассеяния с каким-то другим, эмпирически подобранным
углом рассеяния. Такое приближение используется редко. Наиболее
распространенным является следующий прием (54, 60, 68].
Считается, что основную роль в кристалле играют электроны, находящиеся на
уровне Ферми. Поэтому полагают волновой вектор к, входящий в формфактор,
равным kF. Затем считают, что при малых [ql рассеяние электрона
происходит с сохранением величины волнового вектора: изменяется только
направление вектора к' = к + q, который как бы "отворачивается" от
вектора к (рис. 1.20, а). Когда вектор к' примет направление,
противоположное исходному вектору к, то дальше "отворачиваться уже
некуда" и вектору к' приходится увеличиваться по модулю при фиксированном
угле рассеяния. Ясно, что в этой ситуации мы имеем дело с рассеянием
назад (рис. 1.20, б).
Ряс. 1.20. Иллюстрация к приближению "сферы Ферми".
Это приближение можно записать в виде
2kF: [k*- + q | = |kf|, cos 0k)k+q = 1 - 0,5 (q/kF)2, ^
q^2kF: | kf + q | = | q | - | kF |, cos @k,k+q = -1.
Обычно это приближение называют приближением "сферы Ферми", а также
квазилокальным приближением. Приближение "сферы Ферми" можно применять к
любым формфакторам.
142
ГЛ. 4. ТЕОРИЯ ФОРМФАКТОРОВ ПСЕВДОПОТЕНЦИАЛОВ
2. Линейная зависимость формфактора от Е. Перейдем к исследованию
зависимости формфактора от эпергии.
В гл. 2 мы столкнулись с тем, что псевдопотенциал, конструируемый взамен
истинного потенциала, зависит от энергии. Это значит, что при расчете
полной энергии но формуле (1.36) мы встречаемся с осложнениями.
Действительно, для вычисления полной энергии следует суммировать энергии
всех занятых состояний, а это удобно делать, если есть аналитическая
связь '.между номерами состояний и этими энергиями (т. е. явная формула
для закона дисперсии Е(к)). Если же формфактор псевдопотенциала зависит
от энергии, то формула (1.31) представляет собой выражение, нелинейное по
эпергии; для получения значения энергетического уровня в кристалле надо
решить это уравнение относительно Ё. Таким образом, явный вид закона
дисперсии теряется, правую часть (1.31) нельзя интегрировать но к.
С аналогичной трудностью мы уже сталкивались при анализе модели ПСЭ в гл.
1, когда обнаружили, что более правильным выражением для закона дисперсии
является формула (1.30) с энергозависящими знамепателями. Теперь
оказалось, что и числители в этой формуле тоже зависят от эпергии!
Из выражений (2.170), (2.171) для формфактора теории рассеяния видно, что
возможны линейная и полюсная зависимости формфактора от эпергии.
Учитывая, что нуль в знаменателе дроби в формуле (2.170)-тоже полюсная
особенность, удобно исследование сингулярностей в формуле (1.30)
объединить.
Начнем с простых металлов, т. е. с рассмотрения линейной зависимости
формфактора от энергии. Для простых металлов поверхность Ферми ие
касается границ зоны Бриллюэна. Поэтому можно не опасаться сингулярностей
при к| = е" и использовать теорию возмущений Рэлея - Шредингера.
Здесь нам потребуется некоторое отступление. Дело в том, что для простых
металлов иногда рассуждают так [60]. В выражение для формфактора энергия
Е входит в комбинации с большими величинами Еа, которые достигают
