Основы одноэлектронной теории твердого тела - Ястребов Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
132
ГЛ. 3. ТЕОРИЯ ПОТЕНЦИАЛА
т. е. с нулевым средним значением кристаллического потенциала. Из (3.96)
и (3.92) следует:
Энергия Ферми кристалла в этом случае равна энергии Ферми газа свободных
электронов (см. рис. 1.17, б):
Физический смысл такого псевдопотенциала прост: мы внесли в электронный
газ не ион, а нейтральный атом, который уже содержит все необходимые для
экранирования электроны; поэтому он не будет забирать электроны из
окружающего его электронного газа.
Фазовые сдвиги рассеяния на таком потенциале будут как положительными,
так и отрицательными, т. е. он будет как отталкивать электроны, так и
притягивать их. Полное число электронов, перемещенных этим потенциалом,
будет по (3.96) равно пулю, т. е. в среднем потенциал, описываемый
соотношениями (3.96) - (3.98), не вносит никаких возмущений в электронный
газ; оп называется потенциалом минимального возмущения (ПМВ) [279-281J.
Заметим, что в рамках теории диэлектрического экранирования принципиально
нельзя получить ПМВ для псевдопотенциалов типа Хейне - Абаренкова (см. §
7). Действительно, при q 0 диэлектрическая функция ведет себя, как q~z,
т. е. чтобы удовлетворить (3.97), формфактор неэкранированного
псевдопотенциала должен убывать, как р2+в, где б - положительная
величина. Но легко видеть по (3.44), что для псевдопотенциала Хейне -
Абаренкова 6 = 0, т. е. любой такой псевдопотенциал в рамках
диэлектрического экранирования есть всегда ПЛЭ.
В рамках теории аддитивного экранирования возможно построить ПМВ даже для
псевдопотенциала типа Хейне - Абаренкова. Например, экранируя его с
помощью (3.67), из формулы (3.69) получаем, что глубина ямы
псевдопотенциала, оптимизированного на "минимальность возмущения", равна
Псевдоатом, соответствующий такому псевдопотенциалу, будет одновременно
являться и МТ-потенциалом, и потенциалом минимального возмущения.
Мы уже отмечали, что МТ-потенциал не обязательно является потенциалом
минимального возмущения. Действительно, ПМВ - это рассеиватель со всеми
"необходимыми" ему электронами, т. е.
lim <k -ф q | ТПкр | к) = 0.
(3.97)
(3.98)
-^мв 5 -^s-
(3.99)
§ 10. СРЕДНЕЕ ЗНАЧЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛА
133
с нулевой фриделевской суммой. При этом не наложено условие, чтобы все
эти электроны были сосредоточены в ячейке Вигнера - Зейтца. Электронная
плотность ПМВ, в отличие от плотности для МТ-потепциала, может
простираться до бесконечности, так как имеет фрпделевские осцилляции,
которых по определению нет ни у плотности заряда вокруг МТ-потепциала, ни
у него самого.
Обратим внимание па сходимость ряда теории возмущений. В § 4 мы видели,
что если в псевдопотенциале отсутствуют связанные состояния, то по
(2.118) сходимость ряда зависит от среднего значения псевдопотепциала.
Ясно, что ПМВ будет приводить к лучшей сходимости рядов теории
возмущений, чем ПЛЭ. Возможно, оптимизация па минимальность возмущения
является более сильной, чем оптимизация на электронейтральность. В этом
случае теория аддитивного экранирования имеет определенные преимущества
перед теорией диэлектрического экранирования. (Формула (3.99) есть
частный случай для такого оптимизированного псевдопотенциала.)
Конечно, критерий минимальности возмущения не окончателен при анализе
сходимости рядов теории возмущений. В § 7 мы уже видели, что при таком
анализе надо учитывать, что суперпозиция одноузельных потенциалов может
привести к кристаллическому потенциалу, более слабому, чем каждый из
одноузельных потенциалов в отдельности. Следовательно, нельзя априори
утверждать, что ПЛЭ всегда приводит к худшей сходимости рядов теории
возмущений, чем ПМВ.
4. Фриделевские суммы. Обсудим теперь смысл фриделевских сумм.
Фриделевскую сумму, рассчитываемую для конкретного потенциала, можно
рассматривать как условие для определения энергии Ферми такого кристалла,
в котором этот потенциал будет вести себя как ион с заданной валентностью
Ъ'. Действительно, потребуем, чтобы число электронов, необходимое для
экранирования этого иона, т. е. фриделевская сумма было равно Z':
$-{Е7) = Ъ'. (3.100)
Следует рассчитывать фазовые сдвиги рассеяния на данном потенциале и
строить по ним фриделевские суммы в зависимости от энергии, начиная от Е
- 0 и двигаясь к высшим энергиям. Та энергия, при которой выполнится
(3.100), и будет являться искомой энергией Ферми.
Рассмотрим обратную задачу. Пусть имеется конкретный ион валентности Z,
помещенный в кристалл с некоторой энергией Ферми ?гР, характерной для
другой валентности.
Чему равна фриделевская сумма в этом случае?
134
ГЛ. 3. ТЕОРИЯ ПОТЕНЦИАЛА
Преобразуем (3.94) к виду
дг (Ef) =---------- {Е7 - E°f). (З.Ю1)
2/зЯ°г
Из (3.101), (3.93) и (3.96) следует, что конкретное значение по сравнению
с Ер означает выбор той или иной модели экранирования для потенциала.
Действительно, если EpV = Ер, то по (3.101) {Е'р1) = 0, т. е.
потенциалы в кристалле выбраны
так, что их средние значения равны нулю. Если же Е1^ = =-j Ер, то по
(3.101) &~(Е^) - Z, т. е. потенциалы выбраны так, что их средние значения
