Основы одноэлектронной теории твердого тела - Ястребов Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
свои валентные электроны, но и что все электроны будут сосредоточены
внутри МТ-сферы, т. е. наличие электронов в области между МТ-сферой и
поверхностью атомной сферы не принималось во внимание. Тем не менее, в
расчетах получается не только качественное, но зачастую и коли-
(3.106)
(3.107)
(3.107):
wt - щпл = - 4 ?гспл
'J z
Z
(3.108)
(3.109)
§ 10. СРЕДНЕЕ ЗНАЧЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛА
137
чественное согласие с экспериментом, причем даже для примесей переходных
металлов [283-288]. Видимо, это означает, что требование справедливости
правила сумм Фрцделя для потенциала является весьма сильным условием
оптимальности, накладываемым на потенциал примеси. Формулы (3.108) и
(3.109) в некотором смысле служат обоснованием процедуры сдвига
потенциала примеси как целого.
Заметим, что в теории псевдопотеицнала для сплавов рассматривавшаяся выше
процедура оптимизации па "зараженность" ячейки Вигнера - Зейтца не
применяется, хотя, как видно, она получена именно в рамках теории
псевдопотенциалов.
\
Г л а в а 4
ТЕОРИЯ ФОРМФАКТОРОВ ПСЕВДОПОТЕНЦПАЛОВ
§ 11. Нелокальность, энергетическая зависимость формфакторов и теория
возмущений
В этом параграфе мы исследуем зависимость формфакторов от двух основных
переменных - вектора передачи импульса q и энергии Е. Эти зависимости не
вполне разделяются, поэтому мы будем рассматривать их совместно.
1. Зависимость формфактора от q. Начнем с зависимости от q. Обычно
говорят, что псевдопотенциал ИДг) нелокален, если его формфактор
<k'|kF|k> зависит не только от разности векторов к' - к (т. е. от вектора
передачи импульса q = к'- к), но и от самого вектора к. Нелокальность
возникает, если псевдопотенциал не является оператором умножения, как
исходный кристаллический потенциал F(r). Иными словами, псевдопотенциал
нелокален, если он не коммутирует с exp.(ikr).
Действительно, для локального псевдопотенциала W:
<k' I W I к) = J- f 0~ik'TW (г) eikTd3r = о
= f w (г) e~4k,'k)Td3r = W (к' - к). (4.1)
о J
Если псевдопотенциал сферически-симметричен, то его формфактор зависит
только от |к' - к|, но не от углов, составляемых вектором к' - к с осями
координат.
Для нелокального псевдопотенциала, содержащего, например, проекционные
операторы, имеем
/к' 2^,(г)Р, к\=^|е-л'г2ж1(г)/1(Лг)Уь(к)Уь(г)й"г =
\ г / "оJ г
Pt (COS (c)к,к')- (^-2)
= ^2(2Z + 1) о i
j h {k'r) Wt (r)jt (kr) r4r .0
Этот формфактор зависит от к и от к'. Можно воспользоваться формулой
(2.34) и показать, что выражение (4.2) зависит от
§11. ЗАВИСИМОСТЬ ФФ ОТ д И Е
139
векторов q = к'- к и к. Так или иначе, мы имеем дело с зависимостью
формфактора от двух векторов.
Нелокальный формфактор весьма неудобен при проведении расчетов, поскольку
для каждого конкретного взаимного положения векторов к и q требуется
вычислять довольно сложные функции. Обычно прибегают к упрощениям его
зависимости от к п q. Чтобы попять смысл этих приближений, проанализируем
зависимость ТУ(q).
Рассмотрим формфактор теории рассеяния (2.172) для простых металлов.
Первый член представляет собой локальное слагаемое, так как У(г) есть
оператор умножения. Рассмотрим второе слагаемое в (2.172); зависимость от
q определяется множителями <k + q|cx>, для вычисления которых требуется
знать явный вид остовпых орбиталей Фа. Предположим, что эти орбитали
имеют вид так называемых слэтеровских орбиталей 1289J:
Фа = Na exp (- ar). (4.3)
Прибегая к тому же приему, что и при вычислении (1.25), имеем
<k q | а) (e~i(k+q)re~ardsr =
О "
о° 1
j e~~a' e~i|k+4|r'cns er2dr d (cos 0) =
0 0 -1
= -SnaNaQ~l [(k + q)2 + a2]-2. (4.4)
Таким образом, второй член в (2.172) спадает, как <?"4, тогда как
формфактор исходного потенциала - не быстрее, чем q~'2. Следовательно,
формфактор простого металла убывает, в целом, как q~2.
Рассмотрим формфактор для переходных металлов (2.170). Его q-зависимость
определяется множителями <k + q|F|a>. Для их оценки предположим, что
потенциал У (г) является чисто кулоновсюш (1.26). Тогда получаем с учетом
(1.25):
<k + q | У | а) = -^2 f 1 е"аг#г =
о J г
= -AnZeWaQ"1 [(к + q)2 + а2]'1. (4.5)
Таким образом, для переходных металлов "компенсирующая" добавка к
потенциалу (второй член в (2.170)) спадает как д~г, т. е. медленнее, чем
для простых металлов. В целом же формфактор переходного металла спадает,
как <?-2, т. е. так же, как формфактор простого металла.
140
ГЛ. 4. ТЕОРИЯ ФОРМФАКТОРОВ ПСЕВДОПОТЕНЦИАЛОВ
Выражения (4.4) и (4.5) позволяют исследовать зависимость формфакторов от
0k,k' - угла между векторами к и к' = к + q (рис. 1.18).
Рассмотрим два предельных случая: 0к,к/ = 0 и 0к,к'=я, которые называются
соответственно рассеянием вперед и рассеянием назад. Легко
удостовериться, что при рассеянии вперед величина [(k + q)2 + а2]-1
спадает монотонно с ростом 1 q I, а для рассеяния назад эта функция имеет
максимум при q = -к, т. е. с ростом |q| она сначала растет. Это значит,
что в случае рассеяния назад вторые члены в (2.170) п (2.172) растут с
