Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ястребов Л.И. -> "Основы одноэлектронной теории твердого тела" -> 58

Основы одноэлектронной теории твердого тела - Ястребов Л.И.

Ястребов Л.И., Кацнельсон А.А. Основы одноэлектронной теории твердого тела — М.: Наука, 1981. — 320 c.
Скачать (прямая ссылка): osnoviodnoelektronnoyteoriitela1981.pdf
Предыдущая << 1 .. 52 53 54 55 56 57 < 58 > 59 60 61 62 63 64 .. 129 >> Следующая

десятков ридбер-гов, тогда как Е в зоне проводимости не превышает
половины ридберга. Следовательно, достаточно хотя бы приближенно
смоделировать зависимость Е от к, чтобы получить в итоге хорошую
аппроксимацию: "на фоне" Еа относительная ошибка будет мала.
Проанализируем справедливость этих рассуждений.
Рассмотрим второй член в (2.172). Совершим следующее тождественное
преобразование (ср. с (2.162)):
Еа<а\к> = <аК1к> = "к| - v2+ Р(г)|а"* =
= <а| - V2 + Р(г)|к> = /с2<а[к> + <а! Р|к>. (4.8)
§ 11. ЗАВИСИМОСТЬ ФФ ОТ q И Е
143
Подставляя (4.8) в (2.172), имеем <к + q | W | к) = <к + q | V | к) -
- 2 [(к2 - Е) <к + q | а) <а | к) + <к + q | а) <а | V | к>]. (4.9)
а
Волновые функции Ф" внутри ионного остова (т. е. при г < Rc, где 7?с -
радиус ионного остова) представляют полный набор. В силу этого мы можем
написать
2Фа(г) Фа (О = б(г - г') 0 (Rc - г) 0 (Rc - г'),
а
где 0lRc - г) - функция Хевисайда, равная 1 при r<Rc и О при r>Rc; она
введена, чтобы учесть обращение остовных функций в нуль при r>Rc.
В результате получаем (учитывая, что 1 - 0(ж) = 0(-х)):
<k + q | W | к) = <к + q | V (г)0 (г - Rc) | к) -
(4.10)
Мы видим, что формфактор состоит из двух вкладов - интеграла от
потенциала по внешней области, где потенциал достаточно мал, и
осциллирующей добавки, чья амплитуда определяется отклонением Е не от Еа,
а от к2. Величины Е и к2 - одного порядка, и малые ошибки в энергии
отнюдь не так "безобидны", как казалось ранее.
Заметим, что первый член в (4.10) соответствует потенциалу с выброшенной
остовной областью.
Асимптотика А такова (2.29), что второй член в (4.10) спадает, как q~z.
Обратим внимание также на то, что формфактор (4.10) почти локален, во
всяком случае, он уже не зависит от углов вектора к; энергетическая
зависимость еще сохранилась. Смоделируем закон дисперсии в первом порядке
теории возмущепий:
?(I)(k)=k2+<klVF|k>, (4.11)
где псевдопотенциал тот же, что и в (4.10). Подставим (4.11) в (4.10) и
совершим несложные преобразования:
/k-J-ql V (г) & (г - ¦ft.OlkN <k + q I| k> = • (4-12)
4яЯ*7 (яЛс)
'-Ц-Г-
Мы получили эрмитовский, локальный, не зависящий от энергии формфактор.
Казалось бы, нам удалось строго решить все проблемы?
144
ГЛ. 4. ТЕОРИЯ ФОРМФАКТОРОВ ПСЕВДОПОТЕНЦИАЛОВ
На самом деле мы использовали важное приближение: мы предположили, что
волновые функции остовных электронов хорошо локализованы. Это верно для
простых металлов и непригодно, например, для благородных (переходные
металлы вообще не могут быть описаны формулой (2.172), которую мы сейчас
исследуем): волновые функции d-электронов плохо локализованы даже в
свободном атоме. Действительно, прямой расчет (см. § 9.8) показывает, что
d-электропы не только не локализованы в остовиой области, но вне даже
столь большой сферы, как сфера Вигнера - Зейтца, описанной вокруг атома
благородного металла, находится порядка 2-н2,5% атомных d-электронов (т.
е. 0,2 -г- 0,25 электрона). Таким образом, граница локализация d-
электронов чрезвычайно размыта. Отсюда, в частности, следует, что для
благородных металлов надо вводить два остовных радиуса: один, отвечающий
обычному остову, а другой - остову d-электронов. В этом случае можно
надеяться получить для благородных металлов локальный, не зависящий от
энергии псевдопотенциал, как это предсказывается формулой (4.12). Для
благородных металлов, действительно, построены локальные модельные
псевдопотенциалы.
Заметим, что если бы мы, действуя в духе модели ПСЭ, выбрали в качестве
исходного потенциала чисто кулоновский потенциал иона (-Ze2/r, где Z -
валентность), то формула (4.12) описывала бы одпопараметрический
модельный псевдопотенциал, который следовало бы назвать модифицированным
псевдопотенциалом Ашкрофта4), так как его формфактор имеет вид
<k + q | W | к) = - ^--------С-- ----. (4.13)
Если бы вместо первого порядка теории возмущений для моделирования
энергетической зависимости формфактора мы ограничились бы нулевым, то
второй член в (4.10) обратился бы в нуль, знаменатель в (4.13) равнялся
бы 1, т. е. зависимость формфактора от q упростилась бы, и (4.13)
описывало бы формфактор обычного нсевдопотеициала Ашкрофта.
Таким образом, на простом примере мы продемонстрировали, что
моделирование зависимости формфактора от Е может изменить зависимость от
q; модификация будет наиболее существенной в области малых q, которая
весьма важна при расчете свойств неупорядоченных систем.
Итак, мы рассмотрели моделирование зависимости формфактора от энергии.
Заметим, что для простых металлов нет боль-
¦) См. § 7.5 об обычном псевдопотенциале Ашкрофта. Его формфактор можно
получить из (3.44), положив А = 0.
§ ii. ЗАВИСИМОСТЬ ФФ ОТ q И В
145
шой необходимости избавляться от этой энергетической зависимости, если
она линейна, а выражение для закона дисперсии записано во втором порядке
теории возмущений. Действительно, формфактор (2.172) можно переписать в
виде
где а и b - функции, ие зависящие от Е. Подставляя (4.14) в (1.31),
Предыдущая << 1 .. 52 53 54 55 56 57 < 58 > 59 60 61 62 63 64 .. 129 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed